Considere a equação diferencial
x^2(1+x) y^prime prime+x(4-x^2) y^prime+(2+3 x) y=0
b) ( 1.5 Pts ) O ponto x=0 é um ponto singular regular? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o ponto x=0 é um ponto singular regular da equação diferencial dada, usando a teoria de pontos singulares em equações lineares de 2ª ordem na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=0.

Passo 2

Dividimos a equação original por x^2(1+x) para colocá-la na forma padrão. Assim,
y''+p(x)y'+q(x)y=0,
onde
p(x)=x(4-x^2)x^2(1+x)=4-x^2x(1+x),
q(x)=2+3xx^2(1+x)

Passo 3

Para ser ponto singular, basta que p(x) ou q(x) não sejam analíticos em x=0. Aqui p(x) tem polo de ordem 1 e q(x) polo de ordem 2 em x=0, logo x=0 é ponto singular.

Passo 4

Verificamos a regularidade: um ponto singular é regular se x,p(x) e x^2,q(x) forem analíticos em x=0. Calculamos:
x,p(x)=4-x^21+x,
x^2,q(x)=2+3x1+x,
e ambas as funções são séries de potências em torno de x=0. Portanto satisfaço o critério de ponto singular regular.

Resposta

Sim, x=0 é um ponto singular regular.

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