Encontre os primeiros termos numa expansão em série de potências em torno de t=0 para uma solução geral de
y^prime prime-(1+x) y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os primeiros termos de uma expansão em série de potências em torno de t=0 (ou x=0) para a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
y''-(1+x)y=0
O assunto aqui é Método de Séries de Potências aplicado a EDOs, e vamos precisar do desenvolvimento em série de y(x)=sumn=0^infty an x^n e de recurrences para os coeficientes.

Passo 2

Começamos supondo a solução na forma de série
y(x)=sumn=0^infty an x^n
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y''(x)=sumn=0^infty (n+2)(n+1)an+2x^n
E
(1+x)y=sumn=0^infty an x^n + sumn=1^infty an-1 x^n = a0 + sumn=1^infty (an + an-1)x^n

Passo 3

Igualando coeficientes de x^n na equação y''-(1+x)y=0 obtemos para todo n>=0
(n+2)(n+1)an+2 - (an + an-1) = 0
que leva à relação de recorrência
an+2 = an + an-1(n+2)(n+1), a-1=0

Passo 4

Usando a recorrência, escrevemos os primeiros coeficientes em função de a0 e a1:
a2=a02, a3=a1+a06, a4=a0+2a124, a5=a1+4a0120, dots

Passo 5

Para expor as duas soluções fundamentais, escolhemos as condições iniciais (a0=1,a1=0) e (a0=0,a1=1). Assim:
Solução par ( a0=1,a1=0):
y1(x)=1+tfrac12x^2+tfrac124x^4+cdots
Solução ímpar ( a0=0,a1=1):
y2(x)=x+tfrac16x^3+tfrac1120x^5+cdots

Passo 6

A solução geral é combinação linear das duas séries obtidas.

Resposta

A solução geral em série de potências é y(x)=C1l(1+tfrac12x^2+tfrac124x^4+dotsr)+C2l(x+tfrac16x^3+tfrac1120x^5+dotsr).

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