Encontre os primeiros termos numa expansão em série de potências em torno de
para uma solução geral de
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos os primeiros termos de uma expansão em série de potências em torno de t=0 (ou x=0) para a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
O assunto aqui é Método de Séries de Potências aplicado a EDOs, e vamos precisar do desenvolvimento em série de
e de recurrences para os coeficientes.
Passo 2
Começamos supondo a solução na forma de série
Logo
E
Passo 3
Igualando coeficientes de
na equação
obtemos para todo
que leva à relação de recorrência
Passo 4
Usando a recorrência, escrevemos os primeiros coeficientes em função de
e
:
Passo 5
Para expor as duas soluções fundamentais, escolhemos as condições iniciais
e
. Assim:
Solução par ( ):
Solução par (
Solução ímpar (
):
Passo 6
A solução geral é combinação linear das duas séries obtidas.
Resposta
A solução geral em série de potências é
.