( 2.5 pontos) Resolva a Equação y^{\prime}=\frac{y}{x}+\frac{x^{2}}{y^{2}}+1 . \rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}+\frac{x^{2}}{y^{2}}+1 \rightarrow d y=\left(\frac{y}{x}+\frac{x^{2}}{y^{2}}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\frac{x^{2}}{y^{2}}+1.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação envolve termos \dfrac{y}{x}, \dfrac{x^{2}}{y^{2}} e uma constante 1.
  • Não foi fornecida condição inicial, então procuraremos a solução geral.

Passo 2

Observação sobre a forma da equação e escolha do método.
Note que se definirmos a nova variável u por
u=\frac{y}{x},
então \dfrac{y}{x}=u e \dfrac{x^{2}}{y^{2}}=\dfrac{1}{u^{2}}. Ou seja, o lado direito da equação passa a depender apenas de u. Isso sugere a substituição
y=xu(x).
Explico: a substituição y=xu é útil quando o membro direito da ODE pode ser escrito como função de \dfrac{y}{x} (ou seja, só de u). Aqui temos exatamente isso, pois
\frac{y}{x}+\frac{x^{2}}{y^{2}}+1 = u + \frac{1}{u^{2}} + 1,
uma função só de u. Vamos aplicar a substituição.

Passo 3

Derivando y=xu(x) em relação a x usando a regra do produto:
\frac{dy}{dx}=u + x\frac{du}{dx}.
Agora substituímos isso e u=\dfrac{y}{x} na equação original:
u + x\frac{du}{dx} = u + \frac{1}{u^{2}} + 1.
Cancelamos os termos iguais u dos dois lados, obtendo
x\frac{du}{dx} = 1 + \frac{1}{u^{2}}.

Passo 4

Separação de variáveis. Reescrevemos para isolar u e x:
\frac{du}{dx}=\frac{1+\dfrac{1}{u^{2}}}{x}.
Passando dx e reorganizando,
\frac{du}{1+\dfrac{1}{u^{2}}}=\frac{dx}{x}.
Simplificamos o lado esquerdo multiplicando numerador e denominador por u^{2}:
\frac{u^{2}\,du}{u^{2}+1}=\frac{dx}{x}.
Para facilitar a integração, observamos que
\frac{u^{2}}{u^{2}+1}=1-\frac{1}{u^{2}+1}.
Portanto a integral do lado esquerdo fica mais simples.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int \frac{u^{2}}{u^{2}+1}\,du = \int \frac{dx}{x}.
Usando a identidade do passo anterior:
\int\left(1-\frac{1}{u^{2}+1}\right)du = \int \frac{dx}{x}.
Integramos termo a termo:
  • \displaystyle \int 1\,du = u.
  • \displaystyle \int \frac{1}{u^{2}+1}\,du = \arctan(u), porque a derivada de \arctan(u) é \dfrac{1}{1+u^{2}}.
  • \displaystyle \int \frac{dx}{x} = \ln|x|.
Assim obtemos
u - \arctan(u) = \ln|x| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à variável original y usando u=\dfrac{y}{x}. Substituindo:
\frac{y}{x} - \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right) = \ln|x| + C.
Essa é a solução implícita geral da equação diferencial. Observações finais:
  • A solução está implícita; não é possível isolar y em forma elementar simples.
  • Deve-se tomar x\neq 0 (pois usamos \ln|x| e a substituição u=y/x).

Resposta

\displaystyle \frac{y}{x}-\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)=\ln|x|+C

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