( 2.5 pontos) Resolva a Equação
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
- A incógnita é a função
. - A equação envolve termos
, e uma constante . - Não foi fornecida condição inicial, então procuraremos a solução geral.
Passo 2
Observação sobre a forma da equação e escolha do método.
Note que se definirmos a nova variável por
Note que se definirmos a nova variável
então
e
. Ou seja, o lado direito da equação passa a depender apenas de
. Isso sugere a substituição
Explico: a substituição
é útil quando o membro direito da ODE pode ser escrito como função de
(ou seja, só de
). Aqui temos exatamente isso, pois
uma função só de
. Vamos aplicar a substituição.
Passo 3
Derivando
em relação a
usando a regra do produto:
Agora substituímos isso e
na equação original:
Cancelamos os termos iguais
dos dois lados, obtendo
Passo 4
Separação de variáveis. Reescrevemos para isolar
e
:
Passando
e reorganizando,
Simplificamos o lado esquerdo multiplicando numerador e denominador por
:
Para facilitar a integração, observamos que
Portanto a integral do lado esquerdo fica mais simples.
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Usando a identidade do passo anterior:
Integramos termo a termo:
-
-
, porque a derivada de é . -
.
Assim obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à variável original
usando
. Substituindo:
Essa é a solução implícita geral da equação diferencial. Observações finais:
- A solução está implícita; não é possível isolar
em forma elementar simples. - Deve-se tomar
(pois usamos e a substituição ).