(2.5 pontos) Resolva a Equação Diferencial y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}+1=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' + \bigl(y'\bigr)^2 + 1 = 0
e pede que se encontre a solução geral y(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • Trata‑se de uma equação diferencial de segunda ordem não linear.
  • Quer‑se a família de soluções gerais (com constantes de integração).

Passo 2

Reduzimos a ordem fazendo a substituição padrão para essas situações: defina
p(x)=y'(x).
Então p'(x)=y''(x) e a equação fica uma equação de primeira ordem para p:
p' + p^{2} + 1 = 0, \qquad\text{onde}\qquad p'=\frac{dp}{dx}.
A ideia aqui é transformar a segunda ordem em uma primeira ordem mais simples.

Passo 3

A equação para p é separável. Reescrevendo:
\frac{dp}{dx} = -(p^{2}+1).
Agora separa as variáveis p e x:
\frac{dp}{p^{2}+1} = -\,dx.
Explicação rápida: separar significa colocar todos os termos com p de um lado e todos os termos com x do outro, para integrar ambos os lados.

Passo 4

Integramos os dois lados. A integral do lado esquerdo é clássica:
\int \frac{dp}{1+p^{2}} = \arctan p + C.
Integrando o lado direito \int -\,dx = -x + C. Portanto obtém‑se
\arctan p = -x + C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração. Aplicando a tangente em ambos os lados:
p(x)=\tan\bigl(C_{1}-x\bigr).
Observação: aqui usamos que \tan é a função inversa de \arctan (ajustando constante).

Passo 5

Voltando para y, temos y' = p = \tan\bigl(C_{1}-x\bigr). Agora integramos para obter y:
y(x)=\int \tan\bigl(C_{1}-x\bigr)\,dx + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Para calcular a integral, faça a substituição u=C_{1}-x, então du=-dx e
\int \tan\bigl(C_{1}-x\bigr)\,dx = -\int \tan u\,du.
Lembremos que \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u}; tomando v=\cos u tem‑se dv=-\sin u\,du, daí
\int \tan u\,du = -\ln\bigl|\cos u\bigr| + \text{const}.
Portanto
-\int \tan u\,du = \ln\bigl|\cos u\bigr| + \text{const},
e voltando a x,
y(x)=\ln\bigl|\cos\bigl(C_{1}-x\bigr)\bigr| + C_{2}.

Passo 6

Portanto a solução geral é
y(x)=\ln\bigl|\cos\bigl(C_{1}-x\bigr)\bigr| + C_{2},
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}. Observação sobre domínio: a solução está definida onde \cos\bigl(C_{1}-x\bigr)\neq 0 (isto é, afastada dos pontos em que o log não está definido).

Passo 7

Verificação rápida (importante para a prova): calcule y' e y'' e substitua na equação.
y'=\tan\bigl(C_{1}-x\bigr),\qquad y''=-\operatorname{sec}^{2}\bigl(C_{1}-x\bigr).
Substituindo:
y''+(y')^{2}+1 = -\operatorname{sec}^{2}u + \tan^{2}u + 1,
com u=C_{1}-x. Usando a identidade \operatorname{sec}^{2}u=\tan^{2}u+1 obtemos 0. Logo a solução está correta.

Resposta

y(x)=\ln\bigl|\cos\bigl(C_{1}-x\bigr)\bigr| + C_{2}

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