(2.5 pontos) Resolva a Equação Diferencial
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que se encontre a solução geral
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é a função
. - Trata‑se de uma equação diferencial de segunda ordem não linear.
- Quer‑se a família de soluções gerais (com constantes de integração).
Passo 2
Reduzimos a ordem fazendo a substituição padrão para essas situações: defina
Então
e a equação fica uma equação de primeira ordem para
:
A ideia aqui é transformar a segunda ordem em uma primeira ordem mais simples.
Passo 3
A equação para
é separável. Reescrevendo:
Agora separa as variáveis
e
:
Explicação rápida: separar significa colocar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro, para integrar ambos os lados.
Passo 4
Integramos os dois lados. A integral do lado esquerdo é clássica:
Integrando o lado direito
. Portanto obtém‑se
onde
é uma constante de integração. Aplicando a tangente em ambos os lados:
Observação: aqui usamos que
é a função inversa de
(ajustando constante).
Passo 5
Voltando para
, temos
. Agora integramos para obter
:
onde
é outra constante de integração. Para calcular a integral, faça a substituição
, então
e
Lembremos que
; tomando
tem‑se
, daí
Portanto
e voltando a
,
Passo 6
Portanto a solução geral é
com
. Observação sobre domínio: a solução está definida onde
(isto é, afastada dos pontos em que o log não está definido).
Passo 7
Verificação rápida (importante para a prova): calcule
e
e substitua na equação.
Substituindo:
com
. Usando a identidade
obtemos
. Logo a solução está correta.