Considere a equação diferencial
9 t^2 d^2 yd t^2-t(18-12 t^2) d yd t+(4 t^4-6 t^2) y=0, para t>0
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma y(t)=e^r t^2 para r fixo. Determine y(t) uma solução qualquer da equação diferencial, apresentando todos os cálculos. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando t +infty? (Observação. ned = não está definido)
lim t +infty e^t^23 y(t) ned e lim t +infty e^-2 t^23 y(t)=0.

Passo 1

Temos a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis
9t^2,y''-tl(18-12t^2r),y'+l(4t^4-6t^2r)y=0,
Para resolver, note que o enunciado indica que existe uma solução da forma y=e^rt^2. Vamos usar isso como ponto de partida.

Passo 2

Supondo y(t)=e^rt^2, calculamos as derivadas:
y'=2rt,e^rt^2,
y''=dfracddtl(2rt,e^rt^2r)=l(2r+4r^2t^2r)e^rt^2

Passo 3

Substituindo em cada termo da EDO e fatorando e^rt^2:
Termo em t^2y'':
9t^2(2r+4r^2t^2)=18r t^2+36r^2t^4,
Termo em y':
-t(18-12t^2)(2rt)= -36r t^2+24r t^4,
Termo em y:
$$4t{4}-6t{2}.
4t^4-6t^2 ôt{4}(36r{2}+24r+4)+t^{2}(-18r-6)=0.$$

Passo 4

Igualando coeficientes a zero obtemos o sistema
36r^2+24r+4=0,
-18r-6=0
A segunda equação dá r=-tfrac13. Substituindo na primeira confirma-se que é raiz dupla. Logo só encontramos uma solução independente
y1(t)=e^-t^2/3

Passo 5

Como a raiz r=-tfrac13 é dupla, precisamos de uma segunda solução linearmente independente. Passamos a forma padrão
y''+p(t)y'+q(t)y=0
dividindo a EDO original por 9t^2. Isso leva a
p(t)=-2t+43t,
q(t)=49t^2-23

Passo 6

Usamos redução de ordem: procuramos y2=u(t)y1 com
u'(t)=e^-integral p(t),dty1^2
Calculamos
integral p(t),dt=-2ln t+23t^2,
e^-integral p dt=t^2e^-2t^2/3,
y1^2=e^-2t^2/3,
portanto
u'(t)=t^2,
u(t)=t^33
Daí
y2(t)=t^33e^-t^2/3

Passo 7

A solução geral fica
y(t)=C1e^-t^2/3+C2t^33e^-t^2/3
Para estudar o comportamento em tto+infty calculemos os limites pedidos:
Multiplicando por e^t^2/3:
e^t^2/3y(t)=C1+C2t^33
que, em geral, diverge (não está definido).
Multiplicando por e^-2t^2/3:
e^-2t^2/3y(t)=C1e^-t^2+C2t^33e^-t^2
que tende a zero.

Passo 8

Com base nisso, concluímos o comportamento assintótico das soluções conforme tto+infty.

Resposta

A alternativa verdadeira é: limtto+inftye^t^2/3y(t) não está definido e limtto+inftye^-2t^2/3y(t)=0.

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