Considere a equação diferencial
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma
para
fixo. Determine
uma solução qualquer da equação diferencial, apresentando todos os cálculos. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando
? (Observação. ned
não está definido)
ned e
.
Passo 1
Temos a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis
Para resolver, note que o enunciado indica que existe uma solução da forma
. Vamos usar isso como ponto de partida.
Passo 2
Supondo
, calculamos as derivadas:
Passo 3
Substituindo em cada termo da EDO e fatorando
:
Termo em
:
Termo em
Termo em
:
$$4t{4}-6t{2}.
Passo 4
Igualando coeficientes a zero obtemos o sistema
A segunda equação dá
. Substituindo na primeira confirma-se que é raiz dupla. Logo só encontramos uma solução independente
Passo 5
Como a raiz
é dupla, precisamos de uma segunda solução linearmente independente. Passamos a forma padrão
dividindo a EDO original por
. Isso leva a
Passo 6
Usamos redução de ordem: procuramos
com
Calculamos
portanto
Daí
Passo 7
A solução geral fica
Para estudar o comportamento em
calculemos os limites pedidos:
Multiplicando por :
Multiplicando por
que, em geral, diverge (não está definido).
Multiplicando por :
Multiplicando por
que tende a zero.
Passo 8
Com base nisso, concluímos o comportamento assintótico das soluções conforme
.
Resposta
A alternativa verdadeira é:
não está definido e
.