Seja f(x, y)=x e^x^2+y ln (y)+sen(x y)
Determine o vetor gradiente nabla f(x, y);

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o vetor gradiente de uma função de duas variáveis, ou seja, as derivadas parciais de
f(x,y)=x e^x^2+yln(y)+sin(xy)
Isso envolve aplicar regra do produto, cadeia, derivada de logaritmo e de função trigonométrica.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, separemos cada termo:
x e^x^2: aplicar regra do produto e cadeia. Temos:
ddxl(x e^x^2r)=e^x^2+xcdot(2x e^x^2)=e^x^2+2x^2e^x^2=e^x^2(1+2x^2)
yln(y) não depende de x, então contribui com 0.
sin(xy): usando regra da cadeia,
partialpartial xsin(xy)=cos(xy)cdot y
Somando tudo:
partial fpartial x=e^x^2(1+2x^2)+ycos(xy)

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, procedemos de modo análogo:
x e^x^2 não depende de y, então dá 0.
yln(y): usar derivada de uln(u), que é ln(u)+1. Substituindo u=y,
ddyl(yln(y)r)=ln(y)+1
sin(xy): pela cadeia,
partialpartial ysin(xy)=cos(xy)cdot x
Somando:
partial fpartial y=ln(y)+1+xcos(xy)

Passo 4

Reunindo as duas derivadas temos o vetor gradiente:

Resposta

nabla f(x,y)=l(e^x^2(1+2x^2)+ycos(xy),;ln(y)+1+xcos(xy)r)

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