Mostre que o limite abaixo não existe.
lim (x, y) (0,0) x y^32 x^2-y^6

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite de
f(x,y)=x,y^32x^2-y^6
quando (x,y)to(0,0) não existe. O conteúdo aqui é limites de funções de duas variáveis e vamos precisar testar diferentes curvas de aproximação ao ponto (0,0) para verificar dependência de caminho.

Passo 2

Uma estratégia clássica é escolher curvas do tipo
y^3=kx,
com k constante real. Nessa curva temos y=(kx)^1/3 e, quando xto0, também yto0, ou seja, estamos mesmo aproximando de (0,0).

Passo 3

Substituindo y^3=kx em f(x,y) obtemos:
f(x,y)=x,(y^3)2x^2-(y^6)=x,(kx)2x^2-(kx)^2=kx^2x^2(2-k^2)=k2-k^2,
já que x^2 não é zero para xneq0 e assumimos k^2neq2 para evitar divisão por zero.

Passo 4

O valor de f(x,y) ao longo da curva depende de k. Para k=0 o limite é 0, para k=1 o limite é 1/(2-1)=1, para k=2 não podemos usar (divide por zero), mas para k=raiz3 raiz3/(2-3)=-raiz3, e assim por diante.

Passo 5

Como a aproximação pelo caminho y^3=kx dá limites diferentes conforme k, conclui-se que o limite de f(x,y) em (0,0) depende do caminho e, portanto, não existe.

Resposta

O limite não existe.

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