Mostre que o limite abaixo não existe.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o limite de
quando
não existe. O conteúdo aqui é limites de funções de duas variáveis e vamos precisar testar diferentes curvas de aproximação ao ponto
para verificar dependência de caminho.
Passo 2
Uma estratégia clássica é escolher curvas do tipo
com
constante real. Nessa curva temos
e, quando
, também
, ou seja, estamos mesmo aproximando de
.
Passo 3
Substituindo
em
obtemos:
já que
não é zero para
e assumimos
para evitar divisão por zero.
Passo 4
O valor de
ao longo da curva depende de
. Para
o limite é
, para
o limite é
, para
não podemos usar (divide por zero), mas para
dá
, e assim por diante.
Passo 5
Como a aproximação pelo caminho
dá limites diferentes conforme
, conclui-se que o limite de
em
depende do caminho e, portanto, não existe.
Resposta
O limite não existe.