Seja
Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem de
;
Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem de
Passo 1
O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. O conteúdo envolvido é derivação parcial, incluindo regras do produto, cadeia e derivada de seno e logaritmo.
Passo 2
Primeiro vamos achar
, a derivada parcial de
em relação a
:
Da parte
usamos produto e cadeia:
A parte
é constante em
, gera 0. Para
pela regra da cadeia:
Logo,
Passo 3
Agora achamos
, a derivada parcial em relação a
:
Em
não há
, dá 0. Para
usamos produto:
Em
pela cadeia:
Portanto,
Passo 4
Agora derivamos
em relação a
para obter
:
De
aplicamos produto e cadeia:
De
em relação a
:
Logo,
Passo 5
Agora derivamos
em relação a
para obter
:
Em
não há
, dá 0. Em
usamos produto e cadeia:
Como a função é suave,
.
Passo 6
Por fim derivamos
em relação a
para obter
:
De
:
De
em relação a
:
Então
Resposta
As derivadas de segunda ordem são: