Seja f(x, y)=x e^x^2+y ln (y)+sen(x y)
Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem de f(x, y);

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y)=x e^x^2+yln(y)+sin(xy). O conteúdo envolvido é derivação parcial, incluindo regras do produto, cadeia e derivada de seno e logaritmo.

Passo 2

Primeiro vamos achar fx(x,y), a derivada parcial de f em relação a x:
Da parte x e^x^2 usamos produto e cadeia:
partialpartial xl(x e^x^2r)=e^x^2+xcdot2x e^x^2=(2x^2+1)e^x^2
A parte yln(y) é constante em x, gera 0. Para sin(xy) pela regra da cadeia:
partialpartial xl(sin(xy)r)=cos(xy)cdot y
Logo,
fx(x,y)=(2x^2+1)e^x^2+ycos(xy)

Passo 3

Agora achamos fy(x,y), a derivada parcial em relação a y:
Em x e^x^2 não há y, dá 0. Para yln(y) usamos produto:
partialpartial yl(yln(y)r)=ln(y)+1
Em sin(xy) pela cadeia:
partialpartial yl(sin(xy)r)=cos(xy)cdot x
Portanto,
fy(x,y)=ln(y)+1+xcos(xy)

Passo 4

Agora derivamos fx(x,y) em relação a x para obter fxx(x,y):
De (2x^2+1)e^x^2 aplicamos produto e cadeia:
partialpartial xl((2x^2+1)e^x^2r)=e^x^2cdot4x+(2x^2+1)cdot2x e^x^2=(4x^3+6x)e^x^2
De ycos(xy) em relação a x:
partialpartial xl(ycos(xy)r)=ycdot(-sin(xy))cdot y=-y^2sin(xy)
Logo,
fxx(x,y)=(4x^3+6x)e^x^2-y^2sin(xy)

Passo 5

Agora derivamos fx(x,y) em relação a y para obter fxy(x,y):
Em (2x^2+1)e^x^2 não há y, dá 0. Em ycos(xy) usamos produto e cadeia:
partialpartial yl(ycos(xy)r)=cos(xy)+ycdot(-sin(xy))cdot x=cos(xy)-xysin(xy)
Como a função é suave, fyx=fxy.

Passo 6

Por fim derivamos fy(x,y) em relação a y para obter fyy(x,y):
De ln(y)+1:
partialpartial yl(ln(y)+1r)=1y
De xcos(xy) em relação a y:
partialpartial yl(xcos(xy)r)=xcdot(-sin(xy))cdot x=-x^2sin(xy)
Então
fyy(x,y)=1y-x^2sin(xy)

Resposta

As derivadas de segunda ordem são:
fxx(x,y)=(4x^3+6x)e^x^2-y^2sin(xy),
fxy(x,y)=fyx(x,y)=cos(xy)-xysin(xy),
fyy(x,y)=1y-x^2sin(xy)

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