Considere a equação diferencial
9 t^2 d^2 yd t^2-t(18-12 t^2) d yd t+(4 t^4-6 t^2) y=0, para t>0
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma y(t)=e^r t^2 para r fixo. Determine y(t) uma solução qualquer da equação diferencial, apresentando todos os cálculos. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando t +infty? (Observação. ned = não está definido)
lim t +infty e^16-t^26 y(t)=y^prime(1)2+y(1)3.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
9 t^2 y'' - tl(18 - 12 t^2r) y' + l(4 t^4 -6 t^2r)y =0, sabendo que existe solução do tipo y(t)=e^r t^2. Precisamos achar r, obter a primeira solução y1 e depois usar redução de ordem para achar a segunda y2.

Passo 2

Assumimos y=e^r t^2. Calculamos
y' = 2r t,e^r t^2,
y'' = (2r + 4r^2t^2),e^r t^2
Substituindo na EDO e fatorando e^r t^2, obtemos um polinômio em t^2 cujos coeficientes devem ser zero. Isso dá o sistema
36r^2 +24r +4 =0,
-18r -6 =0,
que leva a r=-tfrac13.

Passo 3

Logo uma solução é
y1(t)=e^-t^2/3
Para achar a segunda solução usamos a forma padrão. Dividindo a EDO original por 9t^2 obtemos
y'' + P(t)y' + Q(t)y=0,
com P(t)=-tfrac2t + tfrac4t3. Então
integral P(t),dt = -2ln t + tfrac2t^23,
e
expl(-!integral Pr) = t^2e^-2t^2/3
A fórmula de redução de ordem dá
y2(t)=y1(t)integral t^2e^-2t^2/3(y1(t))^2,dt = e^-t^2/3integral t^2,dt = t^33,e^-t^2/3

Passo 4

Assim, a solução geral é
y(t)=C1e^-t^2/3 + C2t^3e^-t^2/3 Agora analisamos o limite
limtto+inftye^tfrac16-tfract^26y(t) = e^1/6limttoinfty(C1+C2t^3)e^-t^2/2 = 0,
pois o fator exponencial domina o polinômio.

Passo 5

Logo a afirmação “ limtto+inftye^1/6 - t^2/6y(t)=y'(1)/2 + y(1)/3” é falsa; o valor correto do limite é zero.

Resposta

A solução geral é
$$y(t)=C_{1}e{-t{2}/3}+C_{2}t{3}e{-t^{2}/3}.
y(t)=C1e^-t^2/3+C2t^3e^-t^2/3 \lim_{t\to+\infty}e{\tfrac16-\tfrac{t{2}}6}y(t)=0.$$

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