Considere a equação diferencial
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma
para
fixo. Determine
uma solução qualquer da equação diferencial, apresentando todos os cálculos. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando
? (Observação. ned
não está definido)
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
Passo 2
Assumimos
. Calculamos
Substituindo na EDO e fatorando
, obtemos um polinômio em
cujos coeficientes devem ser zero. Isso dá o sistema
que leva a
.
Passo 3
Logo uma solução é
Para achar a segunda solução usamos a forma padrão. Dividindo a EDO original por
obtemos
com
. Então
e
A fórmula de redução de ordem dá
Passo 4
Assim, a solução geral é
pois o fator exponencial domina o polinômio.
Passo 5
Logo a afirmação “
” é falsa; o valor correto do limite é zero.
Resposta
A solução geral é
$$y(t)=C_{1}e{-t{2}/3}+C_{2}t{3}e{-t^{2}/3}.