Seja
Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
. Essa é a direção de máxima variação?
Calcule a derivada direcional de
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada direcional de
f(x,y)=x e{x2}+y,\ln(y)+\sin(xy)
no ponto P=(0,1) na direção do vetor w=(4/5,−3/5) e depois verificar se essa é a direção de máxima variação. O conteúdo é derivada direcional via gradiente e produto escalar e também direção de máxima variação que corresponde à direção do gradiente.
f(x,y)=x e{x2}+y,\ln(y)+\sin(xy)
no ponto P=(0,1) na direção do vetor w=(4/5,−3/5) e depois verificar se essa é a direção de máxima variação. O conteúdo é derivada direcional via gradiente e produto escalar e também direção de máxima variação que corresponde à direção do gradiente.
Passo 2
Primeiro vamos obter as derivadas parciais de f para montar o gradiente. Derivando em relação a x e usando regra do produto e a derivada de \sin(xy):
Derivando em relação a y e usando a derivada de y\ln(y) e de \sin(xy):
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente em P=(0,1). Como e^{0}=1, ln(1)=0 e cos(0)=1, temos:
Logo
.
Passo 4
A derivada direcional na direção unitária w=(4/5,−3/5) é o produto escalar:
Passo 5
A direção de máxima variação em (0,1) é a direção de ∇f, ou seja, o vetor (2,1) normalizado. Como w=(4/5,−3/5) não é paralelo a (2,1), ela não coincide com a direção de máxima variação.
Resposta
A derivada direcional é 1, e w não é a direção de máxima variação.