Seja f(x, y)=x e^x^2+y ln (y)+sen(x y)
Calcule a derivada direcional de f(x, y) no ponto P=(0,1) na direção do vetor w=(45,-35). Essa é a direção de máxima variação?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada direcional de
f(x,y)=x e{x2}+y,\ln(y)+\sin(xy)
no ponto P=(0,1) na direção do vetor w=(4/5,−3/5) e depois verificar se essa é a direção de máxima variação. O conteúdo é derivada direcional via gradiente e produto escalar e também direção de máxima variação que corresponde à direção do gradiente.

Passo 2

Primeiro vamos obter as derivadas parciais de f para montar o gradiente. Derivando em relação a x e usando regra do produto e a derivada de \sin(xy):
fx(x,y)=e^x^2+2x^2 e^x^2+ycos(xy)
Derivando em relação a y e usando a derivada de y\ln(y) e de \sin(xy):
fy(x,y)=ln(y)+1+xcos(xy)

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em P=(0,1). Como e^{0}=1, ln(1)=0 e cos(0)=1, temos:
fx(0,1)=1+0+1=2, fy(0,1)=0+1+0=1
Logo ∇f(0,1)=(2,1).

Passo 4

A derivada direcional na direção unitária w=(4/5,−3/5) é o produto escalar:
Dwf(0,1)=∇f(0,1)cdot w=(2,1)cdotl(tfrac45,-tfrac35r)=2cdottfrac45+1cdot(-tfrac35)=tfrac8-35=1

Passo 5

A direção de máxima variação em (0,1) é a direção de ∇f, ou seja, o vetor (2,1) normalizado. Como w=(4/5,−3/5) não é paralelo a (2,1), ela não coincide com a direção de máxima variação.

Resposta

A derivada direcional é 1, e w não é a direção de máxima variação.

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