Considere a função h(u, v)=f(x(u, v), y(u, v)), em que
f(x, y)=2 x^2(y^3+3 y)^3, x(u, v)=(v-u) sen(2 u) e y(u, v)=uv+e^u v
Faça o diagrama em árvore e utilize a Regra da Cadeia para calcular partial hpartial u(1,1) e partial hpartial v(1,1).

Passo 1

A questão pede para calcular partial hpartial u(1,1) e partial hpartial v(1,1) onde h(u,v)=f(x(u,v),y(u,v)), com
f(x,y)=2x^2l(y^3+3yr)^3, x=(v-u)sin(2u), y=uv+e^uv
Isso é aplicação da Regra da Cadeia em funções de várias variáveis: vamos precisar de fx, fy, de xu,xv,yu,yv e, claro, de avaliar tudo em (u,v)=(1,1).

Passo 2

Para visualizar, o diagrama em árvore fica assim:
  • h
    • f
      • x(u,v)
        • u
        • v
      • y(u,v)
        • u
        • v)
          Ou seja, e

Passo 3

Calculando x e y em (1,1):
x(1,1)=(1-1)sin(2cdot1)=0cdotsin2=0,
y(1,1)=11+e^1cdot1=1+e

Passo 4

Derivadas parciais de f(x,y)=2x^2l(y^3+3yr)^3:
fx=partialpartial xl[2x^2(g(y))^3r]=4xl(g(y)r)^3,
onde g(y)=y^3+3y, e
fy=2x^2cdot3l(g(y)r)^2cdot g'(y)=6x^2l(g(y)r)^2(3y^2+3)=18x^2(y^2+1)l(y^3+3yr)^2 Avaliando em (x,y)=(0,1+e) temos
fx(0,1+e)=4cdot0cdot()^3=0 e fy(0,1+e)=18cdot0^2cdot()=0

Passo 5

Agora as derivadas de x(u,v)=(v-u)sin(2u) e y(u,v)=u/v+e^uv:
xu=-(sin(2u))(1)+(v-u)cdot2cos(2u), xv=sin(2u),
yu=1v+v e^uv, yv=-uv^2+u e^uv Em (1,1) isso dá:
xu(1,1)=-sin2+(1-1)2cos2=-sin2,
xv(1,1)=sin2,
yu(1,1)=1+1cdot e=e+1,
yv(1,1)=-1+1cdot e=e-1

Passo 6

Aplicando a Regra da Cadeia:
partial hpartial u(1,1)=fx,xu+fy,yu=0cdot(-sin2)+0cdot(e+1)=0,
partial hpartial v(1,1)=fx,xv+fy,yv=0cdotsin2+0cdot(e-1)=0

Resposta

partial hpartial u(1,1)=0 e partial hpartial v(1,1)=0.

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