Considere a equação diferencial
9 t^2 d^2 yd t^2-t(18-12 t^2) d yd t+(4 t^4-6 t^2) y=0, para t>0
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma y(t)=e^r t^2 para r fixo. Determine y(t) uma solução qualquer da equação diferencial, apresentando todos os cálculos. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando t +infty? (Observação. ned = não está definido)
lim t +infty e^t^23-13 y(t)t^2=y^prime(1)2+y(1)3.

Passo 1

O enunciado pede para achar uma solução da equação diferencial de segunda ordem
9t^2y''-t(18-12t^2)y'+(4t^4-6t^2)y=0, t>0, supondo que ela seja da forma y(t)=e^r t^2. Vamos usar essa ideia para determinar r e, em seguida, verificar o comportamento quando tto+infty.

Passo 2

Substituímos y=e^r t^2, y'=2r t e^r t^2 e y''=(2r+4r^2t^2)e^r t^2 na EDO. Depois de fatorar e^r t^2 e agrupar potências de t, obtemos a condição
t^4(36r^2+24r+4)-t^2(18r+6)=0 Para essa igualdade valer para todo t>0, os coeficientes de t^4 e de t^2 devem ser nulos, levando ao sistema
36r^2+24r+4=0, 18r+6=0

Passo 3

Resolvendo 18r+6=0 vem r=-1/3. Substituindo em 36r^2+24r+4 confirma-se que essa é a única raiz dupla. Logo uma solução é
y(t)=e^-t^2/3

Passo 4

Agora analisamos o limite dado:
L=limtto+inftye^t^23-13,y(t)t^2 Para y(t)=e^-t^2/3 temos
e^t^23-13y(t)=e^-1/3, então
L=limtto+inftye^-1/3t^2=0 Por outro lado
y'(t)=-tfrac23t e^-t^2/3, de modo que
y'(1)2+y(1)3=-13e^-1/3+13e^-1/3=0 Assim o limite coincide com y'(1)/2+y(1)/3.

Resposta

Uma solução é y(t)=e^-t^2/3. Quando tto+infty, o limite
limtto+inftye^t^23-13,y(t)t^2=y'(1)2+y(1)3

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