Considere a equação diferencial
9 t^2 d^2 yd t^2-t(18-12 t^2) d yd t+(4 t^4-6 t^2) y=0, para t>0
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma y(t)=e^r t^2 para r fixo. Determine y(t) uma solução qualquer da equação diferencial, apresentando todos os cálculos. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando t +infty? (Observação. ned = não está definido)
lim t +infty e^76-7 t^26 y(t)=y^prime(1)2+y(1)3.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis
9t^2d^2ydt^2-t(18-12t^2)dydt+(4t^4-6t^2)y=0
e pede uma solução do tipo y(t)=e^rt^2 e depois o comportamento quando tto+infty do limite
limtto+inftye^76-7t^26y(t)
Para resolver, vamos achar o valor de r, depois a segunda solução pela redução de ordem e enfim analisar o limite.

Passo 2

Assumimos y=e^rt^2. Então
y'=2rt,e^rt^2,
y''=(2r+4r^2t^2)e^rt^2
Substituindo na equação e cancelando o fator e^rt^2, igualamos os coeficientes das potências de t a zero. Do termo t^4 vem
36r^2+24r+4=0implies9r^2+6r+1=(3r+1)^2=0implies r=-tfrac13
O mesmo valor satisfaz o termo em t^2, comprovando a raiz dupla.

Passo 3

Com r=-tfrac13 temos a primeira solução
y1(t)=e^-t^2/3
Para achar uma segunda solução independiente, escrevemos a EDO na forma padrão
y''+P(t)y'+Q(t)y=0,
onde
P(t)=-18-12t^29t=-2t+43t
Usamos a redução de ordem com y2=u(t)y1 e a fórmula
u'(t)=e^-integral P(t),dty1^2(t)
Calculamos
integral P(t),dt=-2ln t+2t^23implies e^-integral P=t^2e^-2t^2/3,
y1^2=e^-2t^2/3implies u'(t)=t^2implies u(t)=tfract^33

Passo 4

Logo a segunda solução é
y2(t)=u(t)y1(t)=tfract^33e^-t^2/3
e a solução geral fica
y(t)=C1e^-t^2/3+C2t^3e^-t^2/3=e^-t^2/3(C1+C2t^3)

Passo 5

Para o limite
L=limtto+inftye^76-7t^26y(t) =limtto+inftye^76(C1+C2t^3)e^-7t^26-t^23 =e^76limtto+infty(C1+C2t^3)e^-3t^22=0,
posso concluir que o limite vale zero.

Passo 6

Portanto, a alternativa que afirma
limtto+inftye^76-7t^26y(t)=y'(1)2+y(1)3
é falsa: o valor correto do limite é 0.

Resposta

Uma solução geral é y(t)=C₁e{-t²/3}+C₂t³e{-t²/3}. E\nlim_{t→∞}e^{7/6−7t²/6}y(t)=0, logo a expressão dada na alternativa é falsa.

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