Considere a equação diferencial
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma
para
fixo. Determine
uma solução qualquer da equação diferencial, apresentando todos os cálculos. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando
? (Observação. ned
não está definido)
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis
e pede uma solução do tipo
e depois o comportamento quando
do limite
Para resolver, vamos achar o valor de
Passo 2
Assumimos
. Então
Substituindo na equação e cancelando o fator
, igualamos os coeficientes das potências de
a zero. Do termo
vem
O mesmo valor satisfaz o termo em
, comprovando a raiz dupla.
Passo 3
Com
temos a primeira solução
Para achar uma segunda solução independiente, escrevemos a EDO na forma padrão
onde
Usamos a redução de ordem com
e a fórmula
Calculamos
Passo 4
Logo a segunda solução é
e a solução geral fica
Passo 5
Para o limite
posso concluir que o limite vale zero.
Passo 6
Portanto, a alternativa que afirma
é falsa: o valor correto do limite é 0.
Resposta
Uma solução geral é y(t)=C₁e{-t²/3}+C₂t³e{-t²/3}. E\nlim_{t→∞}e^{7/6−7t²/6}y(t)=0, logo a expressão dada na alternativa é falsa.