(1) Explique o significado dos seguintes limites:
lim x 1 f(x)=infty e lim x infty f(x)=1

Passo 1

O enunciado pede para interpretar dois limites envolvendo a função f(x): limxto 1f(x)=infty e limxto inftyf(x)=1. Estamos trabalhando com o conceito de limite finito em um ponto, limite infinito em um ponto e limite no infinito, usando definições formais de vizinhanças e aproximações.

Passo 2

O significado de limxto 1f(x)=infty é que podemos tornar f(x) arbitrariamente grande aproximando x de 1. Formalmente, para qualquer M>0 existe de0 tal que sempre que 0<|x-1| temos f(x)>M. Geometricamente, isso indica uma assíntota vertical em x=1, pois f(x) explode.

Passo 3

O significado de limxto inftyf(x)=1 é que os valores de f(x) se aproximam cada vez mais de 1 conforme x cresce sem limite. Formalmente, para qualquer varepsilon>0 existe N>0 tal que sempre que x>N vale |f(x)-1|. Geometricamente, a reta y=1 atua como assíntota horizontal.

Passo 4

Em resumo, o primeiro limite descreve que f(x) cresce sem restrição ao nos aproximarmos de x=1, e o segundo que f(x) tende a 1 quando x tende a infinito.

Resposta

O primeiro limite significa que, ao aproximar x de 1, os valores de f(x) tornam-se arbitrariamente grandes (assíntota vertical em x=1). O segundo significa que, conforme x cresce sem fim, f(x) se aproxima de 1 (assíntota horizontal em y=1).

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