Considere a equação diferencial
9 t^2 d^2 yd t^2-t(18-12 t^2) d yd t+(4 t^4-6 t^2) y=0, para t>0
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma y(t)=e^r t^2 para r fixo. Determine y(t) uma solução qualquer da equação diferencial, apresentando todos os cálculos. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando t +infty? (Observação. ned = não está definido)
lim t +infty e^-2 t^23 y(t) ned e lim t +infty e^-5 t^23 y(t)=0 square lim t +infty e^t^23-13 y(t)t^3=y^prime(1)3+2 y(1)9.

Passo 1

O problema é uma EDO de segunda ordem em ⁠t>0⁠ cujo enunciado diz que existe uma solução da forma y(t)=e^r t^2. Vamos usar isso para encontrar uma solução básica e depois achar a solução geral, aplicando redução de ordem. Em seguida, analisamos os limites pedidos para decidir qual alternativa é verdadeira.

Passo 2

Começamos testando y(t)=e^r t^2. Calculamos as derivadas:
y' = 2r t ,e^r t^2,
y'' = l(2r + 4r^2 t^2r) e^r t^2
Substituindo na equação
9t^2y'' - t(18-12t^2)y' + (4t^4-6t^2)y = 0,
obtemos
(36r^2+24r+4)t^4 +(-18r-6)t^2 = 0
Isso implica
9r^2+6r+1=0
e
-18r-6=0,
o que dá raiz dupla r=-tfrac13. Logo uma solução é
y1(t)=e^-t^2/3

Passo 3

Para achar a segunda solução usamos redução de ordem. Primeiro colocamos a equação na forma padrão
y''+P(t)y'+Q(t)y=0
Dividindo por 9t^2 obtemos
$$P(t)=-\frac{2}{t}+\frac{4}{3}t,
\quad Q(t)=\frac{4}{9}t^2-\frac{2}{3}. P(t)=-2t+43t, Q(t)=49t^2-23óçãy_2 = y_1,\int \frac{e^{-\int P(t)dt}}{y_1^2},dt.$$

Passo 4

Calculamos
integral P(t)dt = -2ln t + tfrac23t^2, e^-integral Pdt=t^2 e^-2t^2/3, y1^2=e^-2t^2/3
Então
e^-integral Pdty1^2=t^2 Longrightarrow y2 = e^-t^2/3integral t^2 dt = t^33e^-t^2/3

Passo 5

Logo a solução geral fica
y(t)=C1 e^-t^2/3+C2t^33e^-t^2/3 = e^-t^2/3(A + B t^3),
com constantes arbitrárias A,C2/3=B.

Passo 6

Agora analisamos os limites quando tto+infty usando y(t)=e^-t^2/3(A+Bt^3):
  1. e^-2t^2/3y(t)=e^-t^2(A+Bt^3)to0
  2. e^-5t^2/3y(t)=e^-2t^2(A+Bt^3)to0
  3. e^t^2/3-1/3y(t)t^3 = e^-1/3A+Bt^3t^3 = e^-1/3(B + A/t^3) to B e^-1/3
Usando condições em t=1 se mostra que B e^-1/3=y'(1)/3+2y(1)/9
Portanto a segunda afirmação é a verdadeira.

Passo 7

Concluímos que a única alternativa correta é aquela que diz
$$\lim_{t\to+\infty}\frac{e{\frac{t2}{3}-\frac{1}{3}}y(t)}{t^3} = \frac{y’(1)}{3}+\frac{2y(1)}{9}.
$$

Resposta

Uma solução geral é y(t)=e^-t^2/3(A+Bt^3), e a alternativa verdadeira é
limtto+inftye^t^23-13y(t)t^3 = y'(1)3+2y(1)9

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