Considere a equação diferencial
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma
para
fixo. Determine
uma solução qualquer da equação diferencial, apresentando todos os cálculos. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando
? (Observação. ned
não está definido)
ned e
.
Passo 1
O problema é uma EDO de segunda ordem em t>0 cujo enunciado diz que existe uma solução da forma
. Vamos usar isso para encontrar uma solução básica e depois achar a solução geral, aplicando redução de ordem. Em seguida, analisamos os limites pedidos para decidir qual alternativa é verdadeira.
Passo 2
Começamos testando
. Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação
obtemos
Isso implica
e
o que dá raiz dupla
Passo 3
Para achar a segunda solução usamos redução de ordem. Primeiro colocamos a equação na forma padrão
Dividindo por
$$P(t)=-\frac{2}{t}+\frac{4}{3}t,
\quad Q(t)=\frac{4}{9}t^2-\frac{2}{3}.
y_2 = y_1,\int \frac{e^{-\int P(t)dt}}{y_1^2},dt.$$
Passo 4
Calculamos
Então
Passo 5
Logo a solução geral fica
com constantes arbitrárias
.
Passo 6
Agora analisamos os limites quando
usando
:
Usando condições em
se mostra que
Portanto a segunda afirmação é a verdadeira.
Portanto a segunda afirmação é a verdadeira.
Passo 7
Concluímos que a única alternativa correta é aquela que diz
$$\lim_{t\to+\infty}\frac{e{\frac{t2}{3}-\frac{1}{3}}y(t)}{t^3} = \frac{y’(1)}{3}+\frac{2y(1)}{9}.
$$
Resposta
Uma solução geral é
, e a alternativa verdadeira é