Considere a equação diferencial
2 y(1+x^2)1+2 x^2 y^prime-2 x y^2(1+2 x^2)^2=1
(b) Determine a solução geral da equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial do tipo:
2 y(1+x^2)1+2 x^2 y^prime - 2 x y^2(1+2 x^2)^2 = 1
O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar usar o método de equação linear, que envolve encontrar um fator integrante para simplificar a equação e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolar $ y’ $. Dividindo ambos os lados por $ \frac{2 y(1+x2)}{1+2x2} $, temos:
y'
Simplificando:
2 y(1+x^2)1+2x^2

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir $ z = y^2 $. Assim, a derivada de $ z $ em relação a $ x $ é:
z = y^2
Substituindo na equação original:
z
Simplificando, obtemos:
x

Passo 4

A equação agora está na forma linear para $ z $:
z
Onde:
dzdx + P(x) z = Q(x)
Para resolver isso, precisamos encontrar um fator integrante, que é uma função que, multiplicada por toda a equação, torna-a exata e facilita a integração.

Passo 5

O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)
Vamos calcular a integral de $ P(x) $:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Para resolver essa integral, usamos frações parciais:
P(x)
Integrando termo a termo:
integral P(x) dx = integral ( -2x(1+x^2)(1+2x^2) ) dx
Portanto, o fator integrante é:
-2x(1+x^2)(1+2x^2) = 2x1+x^2 - 4x1+2x^2

Passo 6

Multiplicamos toda a equação linear por $ \mu(x) $:
mu(x)
Isso simplifica para:
mu(x) dzdx + mu(x) P(x) z = mu(x) Q(x)
Integrando ambos os lados:
ddx [mu(x) z] = mu(x) Q(x)
Substituindo $ Q(x) $:
mu(x) z = integral mu(x) Q(x) dx + C
A integral de $ \frac{1}{1+2x^2} $ é:
Q(x)

Passo 7

Agora, isolamos $ z $:
z
Lembrando que $ z = y^2 $, temos:
z = (1+2x^2)^21+x^2 ( 1raiz2 arctan(xraiz2) + C )

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 1 + 2x^2raiz1 + x^2 cdot raiz, 1raiz2, arctan(x raiz,2,,) + C,
Onde $ C $ é a constante de integração.

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