Considere a equação diferencial
(b) Determine a solução geral da equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial do tipo:
O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar usar o método de equação linear, que envolve encontrar um fator integrante para simplificar a equação e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolar $ y’ $. Dividindo ambos os lados por $ \frac{2 y(1+x2)}{1+2x2} $, temos:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir $ z = y^2 $. Assim, a derivada de $ z $ em relação a $ x $ é:
Substituindo na equação original:
Simplificando, obtemos:
Passo 4
A equação agora está na forma linear para $ z $:
Onde:
Para resolver isso, precisamos encontrar um fator integrante, que é uma função que, multiplicada por toda a equação, torna-a exata e facilita a integração.
Passo 5
O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Vamos calcular a integral de $ P(x) $:
Para resolver essa integral, usamos frações parciais:
Integrando termo a termo:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação linear por $ \mu(x) $:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Substituindo $ Q(x) $:
A integral de $ \frac{1}{1+2x^2} $ é:
Passo 7
Agora, isolamos $ z $:
Lembrando que $ z = y^2 $, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é a constante de integração.