Construa uma tabela para a função f(x)=cos (x) usando os pontos: 0, 8 ; 0,9 ; 1,0 ; 1,1; e 1,3 . Obtenha um polinômio de grau 3 para estimar cos (1,07) e fornece o forneça um limitante superior para o erro.

Passo 1

O enunciado pede para construir uma tabela dos valores de f(x)=cos(x) nos pontos x=0,8; 0,9; 1,0; 1,1; 1,3, em seguida obter um polinômio interpolador de grau 3 para estimar cos(1,07) e calcular um limitante superior para o erro. Vamos usar interpolação de Newton (diferenças divididas) e o termo de resto para fazer isso.

Passo 2

Montamos a tabela de valores (aproximados) de f(x)=cos(x):
  • x0=0,8, f(x0)=cos(0,8)approx0,69676
  • x1=0,9, f(x1)=cos(0,9)approx0,62161
  • x2=1,0, f(x2)=cos(1,0)approx0,54030
  • x3=1,1, f(x3)=cos(1,1)approx0,45360
  • x4=1,3, f(x4)=cos(1,3)approx0,26724

Passo 3

Escolhemos os quatro nós mais próximos de 1,07: 0,8; 0,9; 1,0; 1,1. Calculamos as diferenças divididas:
f[xi,xi+1]=f(xi+1)-f(xi)xi+1-xi,
primeira ordem:
f[x0,x1]=0,62161-0,696760,1=-0,7515,
f[x1,x2]=0,54030-0,621610,1=-0,8131,
f[x2,x3]=0,45360-0,540300,1=-0,8670,
segunda ordem:
f[x0,x1,x2]=-0,8131-(-0,7515)0,2=-0,3080,
f[x1,x2,x3]=-0,8670-(-0,8131)0,2=-0,2695,
terceira ordem:
f[x0,x1,x2,x3]=-0,2695-(-0,3080)0,3=0,12833

Passo 4

Com esses coeficientes, o polinômio de Newton de grau 3 é
P3(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) +f[x0,x1,x2,x3](x-x0)(x-x1)(x-x2)
Substituindo valores:
P3(x)=0,69676-0,7515(x-0,8)-0,3080(x-0,8)(x-0,9) +0,12833(x-0,8)(x-0,9)(x-1,0)

Passo 5

Para estimar cos(1,07), avaliamos P3(1,07):
P3(1,07)approx0,69676-0,7515cdot0,27-0,3080cdot(0,27cdot0,17) +0,12833cdot(0,27cdot0,17cdot0,07)approx0,48013

Passo 6

Calculamos um limitante superior do erro usando o termo de resto de Newton:
|R3(1,07)|<=M4!l|(1,07-0,8)(1,07-0,9)(1,07-1,0)(1,07-1,1)r|,
onde M=max[0,8,1,1]|f''''(x)|=1. Logo,
|R3(1,07)|<=124,(0,27cdot0,17cdot0,07cdot0,03)approx4,0times10^-6

Resposta

O polinômio interpolador de grau 3 em forma de Newton é
P3(x)=0,69676-0,7515(x-0,8)-0,3080(x-0,8)(x-0,9) +0,12833(x-0,8)(x-0,9)(x-1,0)
Com ele obtemos
P3(1,07)approx0,48013,
e o limitante superior para o erro é
|R3(1,07)|<=4,0times10^-6

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