Considere a equação diferencial
2 y(1+x^2)1+2 x^2 y^prime-2 x y^2(1+2 x^2)^2=1
(a) Verifique se a equação dada é axata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial e a tarefa é verificar se ela é exata. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais. Para resolver isso, a gente vai precisar identificar as funções que compõem a equação e aplicar o critério de exatidão, que envolve derivadas parciais. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação dada para o formato padrão de uma equação diferencial exata, que é:
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0
A equação que temos é:
2 y(1+x^2)1+2 x^2 y^prime - 2 x y^2(1+2 x^2)^2 = 1
Vamos trazer o 1 para o lado esquerdo:
2 y(1+x^2)1+2 x^2 y^prime - 2 x y^2(1+2 x^2)^2 - 1 = 0
Agora, identificamos $ M(x, y) $ e $ N(x, y) $:
M(x, y)
N(x, y)

Passo 3

O próximo passo é aplicar o critério de exatidão, que diz que para a equação ser exata, a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ deve ser igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $:
M
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 4

Primeiro, calculamos $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
partial Mpartial y
Derivando em relação a $ y $:
M(x, y) = -2 x y^2(1+2 x^2)^2 - 1

Passo 5

Agora, calculamos $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
partial Npartial x
Vamos derivar isso em relação a $ x $:
Primeiro, aplicamos a regra do quociente:
N(x, y) = 2 y(1+x^2)1+2 x^2
Simplificando:
x

Passo 6

Comparando as duas derivadas parciais:
partial Mpartial y = -4 x y(1+2 x^2)^2
partial Npartial x = -4 x y(1+2 x^2)^2
Vemos que:
partial Mpartial y = partial Npartial x

Resposta

Como as derivadas parciais são iguais, a equação diferencial dada é exata.

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