Considere a equação diferencial
(a) Verifique se a equação dada é axata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial e a tarefa é verificar se ela é exata. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais. Para resolver isso, a gente vai precisar identificar as funções que compõem a equação e aplicar o critério de exatidão, que envolve derivadas parciais. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação dada para o formato padrão de uma equação diferencial exata, que é:
A equação que temos é:
Vamos trazer o 1 para o lado esquerdo:
Agora, identificamos $ M(x, y) $ e $ N(x, y) $:
Passo 3
O próximo passo é aplicar o critério de exatidão, que diz que para a equação ser exata, a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ deve ser igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 4
Primeiro, calculamos $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
Derivando em relação a $ y $:
Passo 5
Agora, calculamos $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
Vamos derivar isso em relação a $ x $:
Primeiro, aplicamos a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 6
Comparando as duas derivadas parciais:
Vemos que:
Resposta
Como as derivadas parciais são iguais, a equação diferencial dada é exata.