O enunciado pede o cálculo de várias integrais definidas, usando conteúdos de cálculo integral tais como antiderivadas elementares, integração por partes, simetrias de funções pares e ímpares, substituições e tratamento de valor absoluto. Vamos precisar revisar: antiderivadas de $\tfrac1x, ,\ln x, e^x, \sqrt{x},\sin x,\cos x,\sec^2 x$, técnicas de integração por partes, propriedades de funções pares/ímpares em integrais simétricas e de integrais de funções valor absoluto definidas por intervalos.
Passo 2
Começamos avaliando diretamente as antiderivadas elementares e aplicando os limites de integração quando possível: (a) $,\int_1^2 \frac1x ,dx = [\ln x]_1^2 = \ln 2$. (o) $,\int_1^3 e^{-x} dx = [-e{-x}]_13 = e{-1}-e{-3}$. (b) será reavaliada em integração por partes.
Passo 3
Para integrais que exigem integração por partes, escolhemos as funções adequadas para $u$ e $? dv$ e aplicamos $,\int u\,dv = u v - \int v \;du$. Assim obtemos: (h) $,\int_0^1 x\arctan x\,dx$, (i) $,\int_0^1 \frac{\arctan x}{1+x^2}\,dx$, (b) $,\int_1^e \ln x\,dx$, (j) $,\int_0^\pi \sin^3 u\,du$.
Para integrais com valor absoluto, quebramos o intervalo onde o argumento muda de sinal e integramos sem valor absoluto, ajustando o sinal em cada subintervalo. Isso resolve: (s) $,\int_0^{2\pi} |\sin x|\,dx$, (t) $,\int_0^8 |x^2 -6x +8|\,dx$.
Passo 6
As demais integrais podem ser resolvidas por substituições apropriadas: (e) $,\int_0^{3\pi/2} \sin x\,dx$, (f) $,\int_0^{\pi/4} \sin2x\cos2x\,dx$, (m) $,\int_0^{\pi/4} \sec^2\theta\,d\theta$, (n) $,\int_2^6 \sqrt{x+1}\,dx$, (u) $,\int_0^{\sqrt2} \frac{2x+3}{x^2+2}\,dx$, (l) $,\int_2^4 \frac{x^3}{x-1}\,dx$ (divisão polinomial), (v) $,\int_0{\pi2} \cos\sqrt{x}\,dx$ (substituição $t=\sqrt{x}$).
Passo 7
Após executar todas as técnicas acima de maneira sistemática, chegamos aos resultados a seguir.