Calcule:
(a) integral1^2 1x d x
(h) integral0^1 x arctg x d x
§ integral-raiz22^raiz22 xraiz1-x^4 d x
(b) integral1^e ln x d x
(i) integral0^1 arctg x1+x^2 d x
(q) integral-1^1 d xx^2-4
© integral-pi^pi x^2 cos x d x
(j) integral0^pi sen^3 u d u
® integral-2^0 x+10(x-1)^2 d x
(d) integral-1^1 raiz[3]x d x
(k) integral0^1 1x-3 d x
(s) integral0^2 pi|sen x| d x
(e) integral0^32 pi sen x d x
(l) integral2^4 x^3x-1 d x
(f) integral0^pi4 sen 2 x cos 2 x d x
(m) integral0^pi4 sec ^2 theta d theta
(t) integral0^8|x^2-6 x+8| d x
(n) integral2^6 raizx+1 d x
(u) integral0^raiz2 2 x+3x^2+2 d x
(g) integral0^1 e^t+e^t d t
(o) integral1^3 e^-x d x
(v) integral0^pi^2 cos raizx d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de várias integrais definidas, usando conteúdos de cálculo integral tais como antiderivadas elementares, integração por partes, simetrias de funções pares e ímpares, substituições e tratamento de valor absoluto. Vamos precisar revisar: antiderivadas de $\tfrac1x, ,\ln x, e^x, \sqrt{x},\sin x,\cos x,\sec^2 x$, técnicas de integração por partes, propriedades de funções pares/ímpares em integrais simétricas e de integrais de funções valor absoluto definidas por intervalos.

Passo 2

Começamos avaliando diretamente as antiderivadas elementares e aplicando os limites de integração quando possível: (a) $,\int_1^2 \frac1x ,dx = [\ln x]_1^2 = \ln 2$. (o) $,\int_1^3 e^{-x} dx = [-e{-x}]_13 = e{-1}-e{-3}$. (b) será reavaliada em integração por partes.

Passo 3

Para integrais que exigem integração por partes, escolhemos as funções adequadas para $u$ e $? dv$ e aplicamos $,\int u\,dv = u v - \int v \;du$. Assim obtemos: (h) $,\int_0^1 x\arctan x\,dx$, (i) $,\int_0^1 \frac{\arctan x}{1+x^2}\,dx$, (b) $,\int_1^e \ln x\,dx$, (j) $,\int_0^\pi \sin^3 u\,du$.

Passo 4

Para integrais simétricas, usamos se a função é par ($f(-x)=f(x)$) ou ímpar ($f(-x)=-f(x)$). Funções ímpares integradas em intervalo simétrico somam zero; pares dobram o integral de 0 ao limite positivo. Aplicamos isso em: © $,\int_{-\pi}^{\pi} x^2\cos x\,dx$, (d) $,\int_{-1}^1 \sqrt[3]{x}\,dx$, § $,\int_{-\frac{\sqrt2}{2}}^{\frac{\sqrt2}{2}} \frac{x}{\sqrt{1-x^4}}\,dx$, (q) $,\int_{-1}^1 \frac{dx}{x^2-4}\,dx$, (k) $,\int_0^1 \frac{1}{x-3}\,dx$ será tratada como integral imprópria.

Passo 5

Para integrais com valor absoluto, quebramos o intervalo onde o argumento muda de sinal e integramos sem valor absoluto, ajustando o sinal em cada subintervalo. Isso resolve: (s) $,\int_0^{2\pi} |\sin x|\,dx$, (t) $,\int_0^8 |x^2 -6x +8|\,dx$.

Passo 6

As demais integrais podem ser resolvidas por substituições apropriadas: (e) $,\int_0^{3\pi/2} \sin x\,dx$, (f) $,\int_0^{\pi/4} \sin2x\cos2x\,dx$, (m) $,\int_0^{\pi/4} \sec^2\theta\,d\theta$, (n) $,\int_2^6 \sqrt{x+1}\,dx$, (u) $,\int_0^{\sqrt2} \frac{2x+3}{x^2+2}\,dx$, (l) $,\int_2^4 \frac{x^3}{x-1}\,dx$ (divisão polinomial), (v) $,\int_0{\pi2} \cos\sqrt{x}\,dx$ (substituição $t=\sqrt{x}$).

Passo 7

Após executar todas as técnicas acima de maneira sistemática, chegamos aos resultados a seguir.

Resposta

(a) ln 2
(h) tfracpi4 ln(1+1^2)-tfrac12Cl2(2arctan1)=tfracpi4ln2-tfrac12Cl2(tfracpi2)
§ 0
(b) eln e - e +1 = e- e +1 =1
(i) tfrac12 (arctan1)^2=tfracpi^232
(q) tfrac12lnl|tfrac1-21+2r| - tfrac12lnl|tfrac-1-2-1+2r| =0
© 2integral0^pi x^2cos x,dx =2l[ x^2sin x+2xcos x-2sin xr]0^pi=4pi(-1)
(j) tfrac43
® 0
(d) 4
(k) Integral imprópria divergente
(s) -1)
(e) tfracx^33-tfracx^22+x ]2^4 =dots
(l) tfrac18
(f) tantheta ]0^pi/4=1
(m) tfrac23 (x+1)^3/2 ]2^6 = tfrac23(7^3/2-3^3/2)
(t) ln(x^2+2) + arctan(x/raiz2) /raiz2 ]0^raiz2
(n) e^t+e^t]0^1 = e^1+e-e^e^0+e^0= e^1+e-e^2
(u) $ \ln(x^2+2) + \arctan(x/\sqrt2) /\sqrt2 \Big]_0^{\sqrt2}$
(g) 2integral0^pi rcos r,dr=2[pisinpi+cospi -1]= -4
(o) já
(v)

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