(i) lim x -infty(x+2x+1)^x

Passo 1

A questão pede o cálculo do limite limxto -infty l(x+2x+1r)^x. O conteúdo é limites de formas indeterminadas do tipo 1^infty, e vamos usar a técnica de reescrever a expressão como e^algo para facilitar.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a fração dentro da potência de forma a evidenciar o padrão 1+varepsilon. Note que
x+2x+1 = 1 + 1x+1

Passo 3

Em seguida, aplicamos o logaritmo para transformar a potência em produto. Definindo
L = limxto -infty l(x+2x+1r)^x,
temos
ln L = limxto -infty x lnl(1 + 1x+1r)

Passo 4

Como xto -infty, usamos a expansão ln(1+u) approx u - u^2/2 para u = 1/(x+1). Então
x lnl(1 + 1x+1r) approx x l(1x+1 - 12(x+1)^2r) = xx+1 - x2(x+1)^2

Passo 5

Ao tomar o limite, cada termo tende a 1 e 0, respectivamente. Logo,
ln L = 1

Passo 6

Portanto, voltando da forma logarítmica,
L = e^1 = e

Resposta

e

Exercícios relacionados