Considere a equação diferencial
2+e^yx+(e^y+yx) y^prime=0
Encontre a solução geral da equação (1);
Determine a soluçäo da equação (1) tal que y(1)=1.

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar a solução geral e particular da equação diferencial de 1ª ordem
2 + e^yx + l(e^y + tfrac yxr)y' = 0
Estamos em EDOs exatas/integrantes de fator integrante, e vamos precisar de conceito de exatidão e fator integrante dependente só de x.

Passo 2

Identificamos a forma diferencial exata M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 com
M(x,y)=2+tfrace^yx, N(x,y)=e^y+tfrac yx
Verificamos que
partial Mpartial y=e^yx, partial Npartial x=- yx^2,
logo não é exata. Calculamos o candidato a fator integrante mu(x) via
My-NxN=e^y/x + y/x^2e^y + y/x=1x,
de onde
mu'(x)mu(x)=1x Rightarrow mu(x)=x

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=x, ficando
$$(2x+e^y),dx + (x e^y + y),dy=0,
(2x+e^y),dx + (x e^y + y),dy=0, é\frac{\partial}{\partial y}(2x+ey)=ey,
\quad \frac{\partial}{\partial x}(x e^y + y)=e^y.
partialpartial y(2x+e^y)=e^y, partialpartial x(x e^y + y)=e^y çã\frac{\partial\psi}{\partial x}=2x+e^y\quad\Rightarrow\quad
\psi(x,y)=\int(2x+e^y),dx = x^2 + x e^y + h(y).
psi(x,y)\frac{\partial\psi}{\partial y}=x e^y + h’(y)=x e^y + y,
partialpsipartial x=2x+e^yRightarrow psi(x,y)=integral(2x+e^y),dx = x^2 + x e^y + h(y) \psi(x,y)=x^2 + x e^y + \frac{y^2}{2}.
partialpsipartial y=x e^y + h'(y)=x e^y + y, çãíéx^2 + x e^y + \frac{y^2}{2}=C.
$$

Passo 4

Para achar a solução que satisfaz y(1)=1, substituímos x=1,y=1 em
$$1^2 + 1,e^1 + \tfrac{1^2}{2}=1 + e + \tfrac12=\tfrac32 + e.
1^2 + 1,e^1 + tfrac1^22=1 + e + tfrac12=tfrac32 + e éçãx^2 + x e^y + \frac{y^2}{2}=\frac32 + e.
$$

Resposta

Solução geral (implícita):
x^2 + x e^y + y^22=C
Solução particular com y(1)=1:
x^2 + x e^y + y^22=32 + e

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