Considere a equação diferencial
Encontre a solução geral da equação (1);
Determine a soluçäo da equação (1) tal que
.
Determine a soluçäo da equação (1) tal que
Passo 1
O enunciado pede pra encontrar a solução geral e particular da equação diferencial de 1ª ordem
Estamos em EDOs exatas/integrantes de fator integrante, e vamos precisar de conceito de exatidão e fator integrante dependente só de
.
Passo 2
Identificamos a forma diferencial exata
com
Verificamos que
logo não é exata. Calculamos o candidato a fator integrante
via
de onde
Passo 3
Multiplicamos toda a equação por
, ficando
$$(2x+e^y),dx + (x e^y + y),dy=0,
\quad \frac{\partial}{\partial x}(x e^y + y)=e^y.
\psi(x,y)=\int(2x+e^y),dx = x^2 + x e^y + h(y).
$$
Passo 4
Para achar a solução que satisfaz
, substituímos
em
$$1^2 + 1,e^1 + \tfrac{1^2}{2}=1 + e + \tfrac12=\tfrac32 + e.
$$
Resposta
Solução geral (implícita):
Solução particular com