Considere a equação diferencial
2+e^yx+(e^y+yx) y^prime=0
Mostre que mu(x)=x é um fator integrante para a equação (1);

Passo 1

Vamos verificar que faz parte do conteúdo de equações diferenciais exatas com fator integrante. A equação dada é
2 + e^yx + l(e^y + yxr)y' = 0
queremos mostrar que um fator integrante que depende só de x é mu(x)=x.

Passo 2

Para usar o teste de exatidão, colocamos a equação em forma M(x,y)+N(x,y)y'=0. Identificamos
M(x,y)=2+e^yx, N(x,y)=e^y+yx
Em seguida, conferimos se já é exata comparando partial M/partial y e partial N/partial x.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=e^yx, partial Npartial x=-yx^2
Como e^yxneq -yx^2, não é exata e precisamos de um fator integrante.

Passo 4

Para um fator integrante mu(x) só em x, usamos a condição
partial Mpartial y-partial Npartial xN = função só de x çãó
Calculando:
e^yx+yx^2e^y+yx = e^y x+yx^2e^y x+yx = 1x
Logo essa razão depende apenas de x.

Passo 5

O fator integrante é
mu(x)=expl(integral 1x,dxr)=exp(ln|x|)=x
ostentando assim que mu(x)=x é de fato um fator integrante que torna a equação exata.

Resposta

mu(x)=x

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