Considere a equação diferencial abaixo
x^2 y^prime prime-x y^prime+y=f(x)
Resolva a equação homogênea (f(x)=0):

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial dada por:
x^2 y'' - x y' + y = f(x)
Mas a gente vai focar na equação homogênea, que é quando $ f(x) = 0 $. Então, nossa tarefa é resolver:
f(x) = 0
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e como encontrar suas soluções gerais usando métodos de solução para equações homogêneas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a equação é do tipo Cauchy-Euler (ou equação equidimensional), porque os coeficientes de $ y’’ $, $ y’ $ e $ y $ são polinomiais em $ x $, com potências que diminuem de uma em uma. A forma geral de uma equação de Cauchy-Euler é:
y''
No nosso caso, $ a = 1 $, $ b = -1 $, e $ c = 1 $.

Passo 3

Para resolver uma equação de Cauchy-Euler, assumimos uma solução de potência da forma:
y = x^r
Onde $ r $ é um número que vamos determinar. Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ y $:
r
y

Passo 4

Substituindo $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação original:
y
Simplificando cada termo:
  • Primeiro termo: $ x^{2} \cdot r (r - 1) x^{r - 2} = r (r - 1) x^{r} $
  • Segundo termo: $ -x \cdot r x^{r - 1} = -r x^{r} $
  • Terceiro termo: $ x^{r} $
Então, temos:
y'

Passo 5

Fatorando $ x^{r} $:
x^r
Simplificando dentro dos colchetes:
x^r [r (r - 1) - r + 1] = 0
Então, a equação fica:
r^2 - r - r + 1 = r^2 - 2r + 1
Como $ x^{r} $ nunca é zero para $ x \neq 0 $, temos que resolver:
x^r (r^2 - 2r + 1) = 0

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática:
r^2 - 2r + 1 = 0
Isso pode ser fatorado como:
(r - 1)^2 = 0
Então, a solução é:
r = 1
Como é uma raiz dupla, precisamos ajustar nossa solução geral.

Passo 7

Quando temos uma raiz dupla $ r = r_1 = r_2 $, a solução geral da equação homogênea é:
r = r1 = r2
Substituindo $ r = 1 $:
y(x) = (C1 + C2 ln x) x^r

Resposta

A solução geral da equação homogênea é:
y(x) = C1 x + C2 x ln x
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados