Considere a equação diferencial abaixo
Resolva a equação homogênea
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial dada por:
Mas a gente vai focar na equação homogênea, que é quando $ f(x) = 0 $. Então, nossa tarefa é resolver:
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e como encontrar suas soluções gerais usando métodos de solução para equações homogêneas.
Passo 2
Primeiro, observamos que a equação é do tipo Cauchy-Euler (ou equação equidimensional), porque os coeficientes de $ y’’ $, $ y’ $ e $ y $ são polinomiais em $ x $, com potências que diminuem de uma em uma. A forma geral de uma equação de Cauchy-Euler é:
No nosso caso, $ a = 1 $, $ b = -1 $, e $ c = 1 $.
Passo 3
Para resolver uma equação de Cauchy-Euler, assumimos uma solução de potência da forma:
Onde $ r $ é um número que vamos determinar. Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ y $:
Passo 4
Substituindo $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação original:
Simplificando cada termo:
- Primeiro termo: $ x^{2} \cdot r (r - 1) x^{r - 2} = r (r - 1) x^{r} $
- Segundo termo: $ -x \cdot r x^{r - 1} = -r x^{r} $
- Terceiro termo: $ x^{r} $
Então, temos:
Passo 5
Fatorando $ x^{r} $:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então, a equação fica:
Como $ x^{r} $ nunca é zero para $ x \neq 0 $, temos que resolver:
Passo 6
Resolvendo a equação quadrática:
Isso pode ser fatorado como:
Então, a solução é:
Como é uma raiz dupla, precisamos ajustar nossa solução geral.
Passo 7
Quando temos uma raiz dupla $ r = r_1 = r_2 $, a solução geral da equação homogênea é:
Substituindo $ r = 1 $:
Resposta
A solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.