Resolva integral triplaV raizx^2+y^2 d V, onde V é o cilindro x^2+y^2 <= 4 entre z=0 e z=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o integral triplo integral triplaV raizx^2+y^2 , dV, onde V é o cilindro definido por x^2+y^2 <= 4 entre z=0 e z=3.
Matéria envolvida: Cálculo de integrais triplos, especialmente utilizando coordenadas cilíndricas.
O que precisamos: Converter as coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas para simplificar a resolução e entender os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é coordenada cilíndrica. Nas coordenadas cilíndricas, um ponto no espaço é definido por (r, theta, z), onde:
  • r é a distância do ponto ao eixo z (radial),
  • theta é o ângulo em relação ao eixo x,
  • z permanece igual à coordenada cartesianas.
Essa mudança de coordenadas é útil quando a região de integração tem simetria cilíndrica, como é o caso do nosso problema.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que vamos integrar e os limites de integração em coordenadas cilíndricas.
A função raizx^2+y^2 é igual a r em coordenadas cilíndricas. Então, o integrando fica simplesmente r.
Além disso, o volume V é um cilindro com raio 2 (já que x^2+y^2 <= 4) e altura de z=0 a z=3.
Portanto, os limites de integração são:
  • r varia de 0 a 2,
  • theta varia de 0 a 2pi,
  • z varia de 0 a 3.

Passo 4

Lembre-se que, ao mudar para coordenadas cilíndricas, o elemento de volume dV também muda. Em coordenadas cilíndricas, dV = r , dz , dr , dtheta.
Então, nosso integral triplo agora fica:
integral triplaV r cdot r , dz , dr , dtheta = integral triplaV r^2 , dz , dr , dtheta

Passo 5

Vamos agora integrar passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^3 r^2 , dz = r^2 cdot z |0^3 = 3r^2

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a r:
integral0^2 3r^2 , dr = 3 cdot r^33 |0^2 = 2^3 - 0 = 8

Passo 7

Por último, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 8 , dtheta = 8 cdot theta |0^2pi = 8 cdot 2pi = 16pi

Resposta

O valor do integral triplo é 16pi.

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