Resolva
, onde
é o cilindro
entre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o integral triplo
, onde
é o cilindro definido por
entre
e
.
Matéria envolvida: Cálculo de integrais triplos, especialmente utilizando coordenadas cilíndricas.
O que precisamos: Converter as coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas para simplificar a resolução e entender os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é coordenada cilíndrica. Nas coordenadas cilíndricas, um ponto no espaço é definido por
, onde:
-
é a distância do ponto ao eixo (radial), -
é o ângulo em relação ao eixo , -
permanece igual à coordenada cartesianas.
Essa mudança de coordenadas é útil quando a região de integração tem simetria cilíndrica, como é o caso do nosso problema.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que vamos integrar e os limites de integração em coordenadas cilíndricas.
A função
é igual a
em coordenadas cilíndricas. Então, o integrando fica simplesmente
.
Além disso, o volume
é um cilindro com raio
(já que
) e altura de
a
.
Portanto, os limites de integração são:
-
varia de a , -
varia de a , -
varia de a .
Passo 4
Lembre-se que, ao mudar para coordenadas cilíndricas, o elemento de volume
também muda. Em coordenadas cilíndricas,
.
Então, nosso integral triplo agora fica:
Passo 5
Vamos agora integrar passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 6
Em seguida, integramos em relação a
r :
Passo 7
Por último, integramos em relação a
theta :
Resposta
O valor do integral triplo é
16pi .