Considere a equação diferencial abaixo
Utilizando o método de variação de parâmetros, resolva a equação não homogênea com
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo:
onde $ f(x) = 2x $. O conteúdo que vamos usar aqui é o método de variação de parâmetros para resolver equações diferenciais não homogêneas. Basicamente, vamos encontrar a solução geral dessa equação dividindo o problema em partes: resolvendo a equação homogênea e depois encontrando uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja:
Essa é uma equação diferencial do tipo Equação de Cauchy-Euler, que geralmente tem soluções da forma $ y = x^{r} $.
Passo 3
Vamos assumir uma solução $ y = x^{r} $ e encontrar o valor de $ r $. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Passo 4
Como $ x^{r} $ nunca é zero para $ x \neq 0 $, igualamos o coeficiente a zero:
Essa é uma equação quadrática que pode ser resolvida:
Passo 5
Como temos uma raiz dupla $ r = 1 $, a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p $ usando o método de variação de parâmetros. A ideia é assumir que os coeficientes $ C_{1} $ e $ C_{2} $ não são constantes, mas sim funções de $ x $:
onde $ y_{1} = x $ e $ y_{2} = x \ln x $ são as soluções da homogênea.
Passo 7
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
Mas, para simplificar, impomos a condição:
Isso simplifica a expressão para:
Passo 8
Substituindo $ y_p $ e suas derivadas na equação original e resolvendo para $ u_{1}’ $ e $ u_{2}’ $, obtemos um sistema de equações que podemos resolver usando o determinante de Wronskian.
Passo 9
Calculamos o Wronskian $ W $ das soluções homogêneas:
Passo 10
Agora, encontramos $ u_{1}’ $ e $ u_{2}’ $ usando:
Passo 11
Integrando $ u_{1}’ $ e $ u_{2}’ $ para encontrar $ u_{1} $ e $ u_{2} $:
Usamos integração por partes:
Então:
E:
Passo 12
Agora, substituímos $ u_{1} $ e $ u_{2} $ na expressão de $ y_p $:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes reais.