Considere a equação diferencial abaixo
x^2 y^prime prime-x y^prime+y=f(x)
Utilizando o método de variação de parâmetros, resolva a equação não homogênea com
f(x)=2 x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo:
x^2 y'' - x y' + y = f(x)
onde $ f(x) = 2x $. O conteúdo que vamos usar aqui é o método de variação de parâmetros para resolver equações diferenciais não homogêneas. Basicamente, vamos encontrar a solução geral dessa equação dividindo o problema em partes: resolvendo a equação homogênea e depois encontrando uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja:
x^2 y'' - x y' + y = 0
Essa é uma equação diferencial do tipo Equação de Cauchy-Euler, que geralmente tem soluções da forma $ y = x^{r} $.

Passo 3

Vamos assumir uma solução $ y = x^{r} $ e encontrar o valor de $ r $. Calculando as derivadas:
y = x^r
r
Substituindo na equação homogênea:
y' = r x^r-1
Simplificando:
y'' = r (r-1) x^r-2
x^2 (r (r-1) x^r-2) - x (r x^r-1) + x^r = 0

Passo 4

Como $ x^{r} $ nunca é zero para $ x \neq 0 $, igualamos o coeficiente a zero:
x^r
x neq 0
Essa é uma equação quadrática que pode ser resolvida:
r(r-1) - r + 1 = 0

Passo 5

Como temos uma raiz dupla $ r = 1 $, a solução geral da equação homogênea é:
r = 1
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p $ usando o método de variação de parâmetros. A ideia é assumir que os coeficientes $ C_{1} $ e $ C_{2} $ não são constantes, mas sim funções de $ x $:
yp
onde $ y_{1} = x $ e $ y_{2} = x \ln x $ são as soluções da homogênea.

Passo 7

Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
yp' = u1' y1 + u1 y1' + u2' y2 + u2 y2'
Mas, para simplificar, impomos a condição:
u1' y1 + u2' y2 = 0
Isso simplifica a expressão para:
yp' = u1 y1' + u2 y2'

Passo 8

Substituindo $ y_p $ e suas derivadas na equação original e resolvendo para $ u_{1}’ $ e $ u_{2}’ $, obtemos um sistema de equações que podemos resolver usando o determinante de Wronskian.

Passo 9

Calculamos o Wronskian $ W $ das soluções homogêneas:
W

Passo 10

Agora, encontramos $ u_{1}’ $ e $ u_{2}’ $ usando:
u1'
u2'

Passo 11

Integrando $ u_{1}’ $ e $ u_{2}’ $ para encontrar $ u_{1} $ e $ u_{2} $:
u1'
Usamos integração por partes:
u2'
Então:
u1
E:
u2

Passo 12

Agora, substituímos $ u_{1} $ e $ u_{2} $ na expressão de $ y_p $:
u1
Simplificando:
u2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 x + C2 x ln x + x^32
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes reais.

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