Calcule
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integral1^raiz2-x^2-y^2 z1+raizx^2+y^2 d z d y d x

Passo 1

Estamos querendo calcular a integral tripla
I = integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integral1^raiz2 - x^2 - y^2 z1 + raizx^2 + y^2 ,dz,dy,dx
Esse exercício envolve integrais múltiplas e é típico usar coordenadas cilíndricas para aproveitar a simetria em x^2 + y^2.

Passo 2

Passamos para coordenadas cilíndricas definindo x = rcostheta, y = rsintheta e z = z. O jacobiano é r. Na projeção no plano xy, temos 0 <= r <= 1 e 0 <= theta <= pi/2, e em z vai de 1 a raiz2 - r^2. Assim
I = integral0^pi/2 integral0^1 integral1^raiz2 - r^2 z1 + r ,r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Vamos primeiro integrar em z. Como r é constante nessa integral,
integral1^raiz2 - r^2 z ,dz = l[tfrac12 z^2r]1^raiz2 - r^2 = tfrac12l((2 - r^2) - 1r) = tfrac1 - r^22
Substituindo em I fica
I = integral0^pi/2 integral0^1 r1 + r cdot 1 - r^22 ,dr,dtheta

Passo 4

Note que tfracr(1 - r^2)2(1 + r) = tfracr(1-r)(1+r)2(1+r) = tfracr(1 - r)2 = tfracr - r^22 Então
I = integral0^pi/2 ,dtheta ; integral0^1 r - r^22 ,dr = pi2 cdot 12 integral0^1 (r - r^2) ,dr
Agora
integral0^1 (r - r^2) ,dr = l[tfracr^22 - tfracr^33r]0^1 = tfrac12 - tfrac13 = tfrac16
Logo
I = pi4 cdot 16 = pi24

Resposta

pi24

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