Considere a equação diferencial
.
Quais são os limites
e
? O que isto implica a respeito da curva da solução quando
?
Quais são os limites
Passo 1
Nesse exercício, a gente tem a equação diferencial
. O conteúdo envolvido é análise de limites de funções, em particular exponenciais, e comportamento assintótico de soluções de EDO. Para resolver, vamos calcular os limites de
quando
e interpretar o que isso quer dizer para a curva de
.
Passo 2
Primeiro, note que à medida que
, temos sempre
. Logo o expoente
tende a
, e por isso
Como
, concluímos que
Isto significa que, nos extremos
, a inclinação da curva fica cada vez menor e tende a zero, ou seja, as tangentes se aproximam de horizontais.
Passo 3
Para ampliar a visão, podemos escrever a solução geral como
e usar o fato de que
. Daí
se aproxima de duas constantes finitas quando
, o que equivale a dizer que a curva possui assíntotas horizontais nesses limites.