Considere a equação diferencial d yd x=e^-x^2.
Quais são os limites lim x -infty d yd x e lim x infty d yd x ? O que isto implica a respeito da curva da solução quando x pm infty ?

Passo 1

Nesse exercício, a gente tem a equação diferencial dydx=e^-x^2. O conteúdo envolvido é análise de limites de funções, em particular exponenciais, e comportamento assintótico de soluções de EDO. Para resolver, vamos calcular os limites de e^-x^2 quando xtopminfty e interpretar o que isso quer dizer para a curva de y(x).

Passo 2

Primeiro, note que à medida que xtopminfty, temos sempre x^2to+infty. Logo o expoente -x^2 tende a -infty, e por isso
limxto-inftye^-x^2=0,limxto+inftye^-x^2=0
Como dy/dx=e^-x^2, concluímos que
limxto-inftydydx=0,limxto+inftydydx=0
Isto significa que, nos extremos xtopminfty, a inclinação da curva fica cada vez menor e tende a zero, ou seja, as tangentes se aproximam de horizontais.

Passo 3

Para ampliar a visão, podemos escrever a solução geral como
y(x)=C+integral0^xe^-t^2,dt,
e usar o fato de que integral0^pminftye^-t^2dt=pmtfracraizpi2. Daí y(x) se aproxima de duas constantes finitas quando xtopminfty, o que equivale a dizer que a curva possui assíntotas horizontais nesses limites.

Resposta

limxto-inftytfracdydx=0 e limxto+inftytfracdydx=0. Isso implica que a curva da solução tem tangentes horizontais e, de fato, assíntotas horizontais quando xtopminfty.

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