Nos Problemas 11.27 a 11.36, determine a forma de uma solução particular de L(y)=phi(x) para phi(x) dada, se a solução da equação homogênea associada L(y)=0 for yh=c1e^5xcos3x+c2e^5xsen3x.
phi(x)=-cos3x

Passo 1

Resumindo a questão, temos uma equação da forma L(y)=phi(x) com phi(x)=-cos(3x) e a solução homogênea associada é yh = c1 e^5x cos(3x) + c2 e^5x sin(3x). Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular.

Passo 2

A partir de yh vemos que o polinômio característico é (r-(5+3i))(r-(5-3i))=r^2-10r+34. Logo podemos escrever L(y)=y''-10y'+34y.

Passo 3

Verificamos ressonância testando as raízes ±3i em r^2-10r+34: p(±3i)=25∓30ineq0, então não há ressonância. O palpite de solução particular é yp=Acos(3x)+Bsin(3x).

Passo 4

Calculamos as derivadas e substituímos em L(yp):
yp'=-3Asin(3x)+3Bcos(3x),
yp''=-9Acos(3x)-9Bsin(3x),
então
L(yp)=yp''-10yp'+34yp=(25A-30B)cos(3x)+(30A+25B)sin(3x)

Passo 5

Igualando L(yp)=-cos(3x) obtemos o sistema
25A-30B=-1 e 30A+25B=0.
Da segunda equação vem A=-5B/6; substituindo na primeira achamos B=6/305 e A=-1/61.

Passo 6

Portanto a forma da solução particular é
yp(x)=-tfrac161cos(3x)+tfrac6305sin(3x).

Resposta

yp(x)=-tfrac161cos(3x)+tfrac6305sin(3x)

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