Verifique que a função dada é uma solução. ( a, b, c são constantes arbitrárias).
2 y^prime=y^3 cos x ; y=(1-sen x)^1 / 2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função y(x)= (1-sin x)^1/2 satisfaz a equação diferencial 2 y′ = y³ \cos x. É conteúdo de verificação direta de solução de EDOs por substituição, e vamos precisar calcular y′ e comparar 2 y′ com y³ \cos x.

Passo 2

Começamos calculando a derivada de y(x)= (1-sin x)^1/2. Usando a regra da cadeia para u(x)=1-\sin x e y=√u, temos:
y' = 12raizu cdot u' = 12raiz1-sin x cdot ( -cos x ) = -cos x2raiz1-sin x

Passo 3

Agora avaliamos os dois lados da equação diferencial:
Lado esquerdo (LE):
2y' = 2 l(-cos x2raiz1-sin xr) = -cos xraiz1-sin x
Lado direito (LD):
y^3cos x = l((1-sin x)^1/2r)^3 cos x = (1-sin x)^3/2,cos x

Passo 4

Para que y(x) fosse solução, precisaríamos ter LE = LD, isto é
-cos xraiz1-sin x stackrel?= (1-sin x)^3/2,cos x
Se cos xneq0, podemos dividir ambos os lados por cos x, obtendo
-1raiz1-sin x = (1-sin x)^3/2,
o que implicaria
-1 = (1-sin x)^2,
impossível para valores reais de x.

Passo 5

Como obtivemos uma contradição, concluímos que y(x)= (1-sin x)^1/2 não satisfaz 2 y′ = y³ \cos x. Portanto, não é solução da EDO dada.

Resposta

A função y(x)= (1-sin x)^1/2 não satisfaz a equação 2 y′ = y³ \cos x, logo não é solução.

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