Universidade Federal do Rio Grande do Norte । SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - SEDIS
4^circ. Teste CÁLCULO I Data limite para entrega <br> na plataforma moodle: <br> 3 0 / 1 1 / 2 0 2 4
Questão 2) Calcule
integral0^pi2 x cos (3 x) d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral definida de no intervalo de 0 a . O conteúdo envolvido aqui é o Cálculo Integral, especificamente a integração por partes. Para resolver, vamos usar a técnica da integração por partes, que é útil quando temos o produto de funções, como neste caso.

Passo 2

A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Primeiro, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u = x Rightarrow du = dx e dv = cos(3x) dx Rightarrow v = sin(3x)3 . Normalmente, escolhemos como a função que simplifica quando derivada, e como a parte restante.
Vamos escolher:

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x cos(3x) dx = u v - integral v , du = x cdot sin(3x)3 - integral sin(3x)3 dx

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral restante:
integral sin(3x)3 dx = 13 integral sin(3x) dx = 13 cdot ( -cos(3x)3 ) = -cos(3x)9

Passo 5

Substituindo de volta na expressão principal:
integral x cos(3x) dx = x sin(3x)3 + cos(3x)9 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, devemos calcular a integral definida de 0 a [ x sin(3x)3 + cos(3x)9 ]0^pi2 = ( pi2 sin( 3pi2 )3 + cos( 3pi2 )9 ) - ( 0 cdot sin(0)3 + cos(0)9 ) . Vamos aplicar os limites na expressão encontrada:
sin( 3pi2 ) = -1 e cos( 3pi2 ) = 0
Simplificando cada termo:
Sabemos que:
sin(0) = 0 e cos(0) = 1
( pi2 cdot (-1)3 + 09 ) - ( 0 + 19 ) = -pi6 - 19
Substituindo:

Resposta

integral0^pi2 x cos(3x) dx = -pi6 - 19 approx -0,5236

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