Exercício 10. Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apro priado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{\cos x+e^{x}-1} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{\cos x + e^{x} - 1}.
O conteúdo é cálculo de limite de função elementar e, em princípio, podemos usar a Regra de l’Hôpital se aparecer uma forma indeterminada do tipo 0/0 ou \infty/\infty.

Passo 2

Vamos verificar separadamente o comportamento do numerador e do denominador quando x\to0:
– Numerador:
\lim_{x\to0}\ln(1+x)=\ln(1+0)=0.
– Denominador:
\lim_{x\to0}\bigl(\cos x + e^{x} - 1\bigr)=\cos0+e^{0}-1=1+1-1=1.

Passo 3

Como o limite do numerador é 0 e o do denominador é 1\neq0, a expressão não apresenta uma forma indeterminada. Portanto, não se aplica a Regra de l’Hôpital e o limite é simplesmente
\frac{0}{1}=0.

Resposta

0

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