Questão 4. Considere T o sólido no primeiro octante delimitado por z=4-x^{2}, z=0, y=x e y=0. Esboçe por separado o sólido T e em cada caso, esboçe a região de integração escolhida para calcular \iiint_{T} x y d V na ordem: d z d y d x.
Passo 1
O enunciado dá um sólido T no primeiro octante limitado por:
a superfície paraboloide superior \;z=4-x^{2}\;,
o plano \;z=0\;,
os planos verticais \;y=0\; e \;y=x\;,
e pede que se esboce o sólido e, para a ordem de integração \;dz\,dy\,dx\;, esboce a região de integração escolhida para calcular \displaystyle \iiint_{T} x y \,dV.
Informações fornecidas (resumindo):
z está entre \;0 e \;4-x^{2}.
y está entre \;0 e \;x.
Primeiro octante implica \;x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0.
O que se pede explicitamente:
Esboço do sólido T (separado).
Esboço, para a ordem \;dz\,dy\,dx, da região de integração (projeção no plano xy e limites a usar).
(Vamos também montar e calcular a integral iterada para ilustrar como usar esses limites.)
Passo 2
Encontrar os limites em x a partir de \;z=4-x^{2} e \;z=0.
A interseção entre z=4-x^{2} e z=0 ocorre quando \;4-x^{2}=0, ou seja \;x^{2}=4.
No primeiro octante tomamos \;x\ge0, logo \;0\le x\le 2.
Explicação didática: a parábola em x corta o plano z=0 em x=\pm2; restrito ao primeiro octante usamos x de 0 a 2.
Passo 3
Determinar a projeção R de T no plano xy (essa projeção é a região que vamos desenhar para a ordem \;dz\,dy\,dx).
As faces verticais fornecem y=0 e y=x. Não há outra restrição em y além dessas e de y\ge0.
Para cada x em [0,2], y varia de 0 até x.
Portanto a projeção R no plano xy é o triângulo com vértices (0,0), (2,0) e (2,2); em notação de desigualdades:
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\;0\le y\le x\}.
Como esboçar esse triângulo: desenhe o eixo x e y; marque a reta y=x entre 0 e 2; marque a vertical x=2 e a linha y=0; a região solicitada é a “fatia” triangular abaixo de y=x até x=2.
Passo 4
Descrever como esboçar o sólido T (passo-a-passo visual):
Desenhe o paraboloide z=4-x^{2} visto no plano xz: para x=0, z=4; para x=2, z=0. É uma “cúpula” abrindo para baixo ao longo do eixo x.
Em direção ao eixo y, o sólido é limitado pelas faces verticais y=0 (plano xz-vertical) e y=x (plano que forma um ângulo de 45^\circ com o eixo x no sentido positivo).
No primeiro octante ( x,y,z\ge0 ), o sólido é a porção da cúpula z=4-x^{2} cortada entre esses dois planos verticais. Para cada (x,y) na projeção triangular R, a altura em z vai de 0 até 4-x^{2}.
Sugestão de esboço: desenhe a cúpula em xz, depois desenhe duas linhas verticais paralelas ao eixo z que representem y=0 e y=x (a segunda inclinada no plano xy); a região entre elas, sob a cúpula, é T.
Passo 5
Montar a integral iterada na ordem \;dz\,dy\,dx.
Para cada x fixo em [0,2], y varia de 0 a x; para cada (x,y) fixo, z varia de 0 a 4-x^{2}. Assim a integral fica:
\iiint_{T} x y \,dV = \int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{x}\int_{z=0}^{4-x^{2}} x y \,dz\,dy\,dx.
Comentário didático: aqui dV foi desmembrado em dz\,dy\,dx. A ordem significa integrar primeiro em z (segmentos verticais), depois em y (linhas horizontais dentro do triângulo), por fim em x (varredura do triângulo ao longo de x).
Passo 6
Calcular a integral passo a passo (mostrando as operações que fariam na prova, sem pular etapas).
Integração em z (a integranda x y é constante em relação a z):
\int_{z=0}^{4-x^{2}} x y \,dz = x y \bigg[ z \bigg]_{0}^{4-x^{2}} = x y (4-x^{2}).
Agora integrar em y de 0 a x:
\int_{y=0}^{x} x y (4-x^{2})\,dy = x(4-x^{2})\int_{0}^{x} y\,dy = x(4-x^{2})\cdot\frac{x^{2}}{2} = \tfrac{1}{2}x^{3}(4-x^{2}).
Explicação: x(4-x^{2}) é constante em y, então sai da integral; \int_0^x y\,dy = \tfrac{1}{2}x^{2}.
3. Finalmente integrar em x de 0 a 2:
Portanto dentro dos colchetes fica 16-\dfrac{32}{3}=\dfrac{16}{3}. Multiplicando por \tfrac{1}{2} obtém-se \dfrac{8}{3}.
Passo 7
Interpretação final e dicas para a prova:
Para montar limites em \;dz\,dy\,dx sempre projete o sólido no plano xy: as funções que limitam z dão os limites internos (aqui 0\le z\le 4-x^{2}); as curvas/retas que limitam na horizontal dão os limites em y (aqui 0\le y\le x); por fim determine o intervalo de x a partir da interseção das superfícies (aqui 0\le x\le 2).
No esboço, desenhe primeiro a projeção R no plano xy (triângulo), depois a curva z=4-x^{2} e “eleve” a região R até essa cúpula.
Resultado numérico da integral (para conferir): \dfrac{8}{3}.
Resposta
\displaystyle \iiint_{T} x y \,dV = \int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{x}\int_{z=0}^{4-x^{2}} x y \,dz\,dy\,dx\n \displaystyle \iiint_{T} x y \,dV = \tfrac{8}{3}