Questão 4. Considere T o sólido no primeiro octante delimitado por z=4-x^{2}, z=0, y=x e y=0. Esboçe por separado o sólido T e em cada caso, esboçe a região de integração escolhida para calcular \iiint_{T} x y d V na ordem:
d z d y d x.

Passo 1

O enunciado dá um sólido T no primeiro octante limitado por:
  • a superfície paraboloide superior \;z=4-x^{2}\;,
  • o plano \;z=0\;,
  • os planos verticais \;y=0\; e \;y=x\;,
    e pede que se esboce o sólido e, para a ordem de integração \;dz\,dy\,dx\;, esboce a região de integração escolhida para calcular \displaystyle \iiint_{T} x y \,dV.
Informações fornecidas (resumindo):
  • z está entre \;0 e \;4-x^{2}.
  • y está entre \;0 e \;x.
  • Primeiro octante implica \;x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0.
    O que se pede explicitamente:
  • Esboço do sólido T (separado).
  • Esboço, para a ordem \;dz\,dy\,dx, da região de integração (projeção no plano xy e limites a usar).
  • (Vamos também montar e calcular a integral iterada para ilustrar como usar esses limites.)

Passo 2

Encontrar os limites em x a partir de \;z=4-x^{2} e \;z=0.
  • A interseção entre z=4-x^{2} e z=0 ocorre quando \;4-x^{2}=0, ou seja \;x^{2}=4.
  • No primeiro octante tomamos \;x\ge0, logo \;0\le x\le 2.
    Explicação didática: a parábola em x corta o plano z=0 em x=\pm2; restrito ao primeiro octante usamos x de 0 a 2.

Passo 3

Determinar a projeção R de T no plano xy (essa projeção é a região que vamos desenhar para a ordem \;dz\,dy\,dx).
  • As faces verticais fornecem y=0 e y=x. Não há outra restrição em y além dessas e de y\ge0.
  • Para cada x em [0,2], y varia de 0 até x.
    Portanto a projeção R no plano xy é o triângulo com vértices (0,0), (2,0) e (2,2); em notação de desigualdades:
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\;0\le y\le x\}.
Como esboçar esse triângulo: desenhe o eixo x e y; marque a reta y=x entre 0 e 2; marque a vertical x=2 e a linha y=0; a região solicitada é a “fatia” triangular abaixo de y=x até x=2.

Passo 4

Descrever como esboçar o sólido T (passo-a-passo visual):
  1. Desenhe o paraboloide z=4-x^{2} visto no plano xz: para x=0, z=4; para x=2, z=0. É uma “cúpula” abrindo para baixo ao longo do eixo x.
  2. Em direção ao eixo y, o sólido é limitado pelas faces verticais y=0 (plano xz-vertical) e y=x (plano que forma um ângulo de 45^\circ com o eixo x no sentido positivo).
  3. No primeiro octante ( x,y,z\ge0 ), o sólido é a porção da cúpula z=4-x^{2} cortada entre esses dois planos verticais. Para cada (x,y) na projeção triangular R, a altura em z vai de 0 até 4-x^{2}.
    Sugestão de esboço: desenhe a cúpula em xz, depois desenhe duas linhas verticais paralelas ao eixo z que representem y=0 e y=x (a segunda inclinada no plano xy); a região entre elas, sob a cúpula, é T.

Passo 5

Montar a integral iterada na ordem \;dz\,dy\,dx.
Para cada x fixo em [0,2], y varia de 0 a x; para cada (x,y) fixo, z varia de 0 a 4-x^{2}. Assim a integral fica:
\iiint_{T} x y \,dV = \int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{x}\int_{z=0}^{4-x^{2}} x y \,dz\,dy\,dx.
Comentário didático: aqui dV foi desmembrado em dz\,dy\,dx. A ordem significa integrar primeiro em z (segmentos verticais), depois em y (linhas horizontais dentro do triângulo), por fim em x (varredura do triângulo ao longo de x).

Passo 6

Calcular a integral passo a passo (mostrando as operações que fariam na prova, sem pular etapas).
  1. Integração em z (a integranda x y é constante em relação a z):
\int_{z=0}^{4-x^{2}} x y \,dz = x y \bigg[ z \bigg]_{0}^{4-x^{2}} = x y (4-x^{2}).
  1. Agora integrar em y de 0 a x:
\int_{y=0}^{x} x y (4-x^{2})\,dy = x(4-x^{2})\int_{0}^{x} y\,dy = x(4-x^{2})\cdot\frac{x^{2}}{2} = \tfrac{1}{2}x^{3}(4-x^{2}).
Explicação: x(4-x^{2}) é constante em y, então sai da integral; \int_0^x y\,dy = \tfrac{1}{2}x^{2}.
3. Finalmente integrar em x de 0 a 2:
\int_{0}^{2} \tfrac{1}{2}x^{3}(4-x^{2})\,dx = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{2} (4x^{3}-x^{5})\,dx.
Calcule termo a termo:
\tfrac{1}{2}\left[ 4\cdot\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{6}}{6} \right]_{0}^{2} = \tfrac{1}{2}\left[ x^{4} - \frac{x^{6}}{6} \right]_{0}^{2}.
Avalia em x=2:
x^{4}\big|_{2}=16,\qquad \frac{x^{6}}{6}\big|_{2}=\frac{64}{6}=\frac{32}{3}.
Portanto dentro dos colchetes fica 16-\dfrac{32}{3}=\dfrac{16}{3}. Multiplicando por \tfrac{1}{2} obtém-se \dfrac{8}{3}.

Passo 7

Interpretação final e dicas para a prova:
  • Para montar limites em \;dz\,dy\,dx sempre projete o sólido no plano xy: as funções que limitam z dão os limites internos (aqui 0\le z\le 4-x^{2}); as curvas/retas que limitam na horizontal dão os limites em y (aqui 0\le y\le x); por fim determine o intervalo de x a partir da interseção das superfícies (aqui 0\le x\le 2).
  • No esboço, desenhe primeiro a projeção R no plano xy (triângulo), depois a curva z=4-x^{2} e “eleve” a região R até essa cúpula.
  • Resultado numérico da integral (para conferir): \dfrac{8}{3}.

Resposta

\displaystyle \iiint_{T} x y \,dV = \int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{x}\int_{z=0}^{4-x^{2}} x y \,dz\,dy\,dx\n
\displaystyle \iiint_{T} x y \,dV = \tfrac{8}{3}

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