Resolva a equação diferencial dada.
para
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com
e
. O que se pede é encontrar a solução geral
(ou uma forma implícita dela), i.e., encontrar as funções
que satisfazem a equação para
em algum domínio adequado.
Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é a função
e . - Os parâmetros
e são números reais e . - Aparece uma raiz quadrada
, portanto é necessário que onde a solução for real. - A equação envolve o produto
, então na separação terá aparecimento de ; portanto as soluções obtidas por separação serão válidas para (casos em serão tratados separadamente, se necessário).
Passo 2
Coloco a equação em forma que facilite a separação de variáveis. Reescrevendo:
Divido ambos os lados por
(assumindo provisoriamente
) e reorganizo para expressar
:
Explicação didática: uma equação do tipo
é separável porque podemos escrever
e integrar ambos os lados. Aqui a direita é
, que é produto de função de
e função de
, então é separável.
Passo 3
Faço a separação de variáveis explicitamente:
Comentário: para obter isto multipliquei ambos os lados por
(válido onde
e
não anulem operações inválidas). Agora vou integrar os dois lados.
Passo 4
Calculo a integral do lado esquerdo. Vou explicar passo a passo:
Quero
.
Faço a substituição conveniente
Então
Substituindo na integral:
Integro
:
Voltando a
:
Passo 5
Agora integro o lado direito:
onde
é constante de integração.
Igualando as duas integrais obtém-se a relação implícita
Multiplicando por
e renomeando a constante para
, fica
Explicação sobre o sinal: o lado esquerdo é uma raiz não-negativa, por isso o lado direito deve ser
onde a igualdade valer (isso impõe restrição sobre
e
no domínio real).
Passo 6
Se for desejável isolar
explicitamente, eleva-se ao quadrado (com cuidado quanto a condições):
Logo
Portanto, em forma explícita,
com as restrições necessárias para que o radicando seja não-negativo e que
seja consistente (i.e., o lado direito não-negativo). Além disso, essa família vale para
.
Passo 7
Tratamento das soluções especiais e domínio:
- A solução geral implícita é
válida para
e pontos onde
. Esta forma já impõe que
porque a raiz é não-negativa.
- A forma explícita é
com
e lembrando as condições de existência (conteúdo do radical não-negativo e
).
-
Solução constante possível: se
então satisfaz a equação (substituindo dá ). Para não há solução constante const que satisfaça a equação, a não ser valores que cumpram (o que exige ) — isso só ocorre se o par permitir. -
Observação sobre
: a separação usou divisão por , por isso a solução geral acima é para . Na equação original, em deve valer , logo apenas valores de que satisfazem são compatíveis em ; isso é uma condição de ponto isolado e não gera, em geral, uma solução contínua estendida automaticamente a .
Resposta
Se
então
é uma solução particular.