Resolva a equação diferencial dada.
\sqrt{a y^{2}+b}-x y y^{\prime}=0 para a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\sqrt{a y^{2}+b}-x y y'=0,
com a,b\in\mathbb{R} e a\neq 0. O que se pede é encontrar a solução geral y(x) (ou uma forma implícita dela), i.e., encontrar as funções y que satisfazem a equação para x em algum domínio adequado.
Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é a função y(x) e y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Os parâmetros a e b são números reais e a\neq 0.
  • Aparece uma raiz quadrada \sqrt{a y^{2}+b}, portanto é necessário que a y^{2}+b\ge 0 onde a solução for real.
  • A equação envolve o produto x y y', então na separação terá aparecimento de \dfrac{1}{x}; portanto as soluções obtidas por separação serão válidas para x\neq 0 (casos em x=0 serão tratados separadamente, se necessário).

Passo 2

Coloco a equação em forma que facilite a separação de variáveis. Reescrevendo:
x y \frac{dy}{dx}=\sqrt{a y^{2}+b}.
Divido ambos os lados por x (assumindo provisoriamente x\neq 0) e reorganizo para expressar \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{a y^{2}+b}}{x y}.
Explicação didática: uma equação do tipo \dfrac{dy}{dx}=G(x)\,H(y) é separável porque podemos escrever \dfrac{1}{H(y)}dy=G(x)dx e integrar ambos os lados. Aqui a direita é \dfrac{1}{x}\cdot\frac{\sqrt{a y^{2}+b}}{y}, que é produto de função de x e função de y, então é separável.

Passo 3

Faço a separação de variáveis explicitamente:
\frac{y}{\sqrt{a y^{2}+b}}\,dy=\frac{dx}{x}.
Comentário: para obter isto multipliquei ambos os lados por \dfrac{y}{\sqrt{a y^{2}+b}} (válido onde y e \sqrt{a y^{2}+b} não anulem operações inválidas). Agora vou integrar os dois lados.

Passo 4

Calculo a integral do lado esquerdo. Vou explicar passo a passo:
Quero \displaystyle\int \frac{y}{\sqrt{a y^{2}+b}}\,dy.
Faço a substituição conveniente
u=a y^{2}+b.
Então
du=2a y\,dy \quad\Rightarrow\quad y\,dy=\frac{du}{2a}.
Substituindo na integral:
\int \frac{y}{\sqrt{a y^{2}+b}}\,dy = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{2a} = \frac{1}{2a}\int u^{-1/2}\,du.
Integro u^{-1/2}:
\frac{1}{2a}\int u^{-1/2}\,du = \frac{1}{2a}\cdot 2u^{1/2} = \frac{1}{a}\sqrt{u}.
Voltando a y:
\int \frac{y}{\sqrt{a y^{2}+b}}\,dy = \frac{1}{a}\sqrt{a y^{2}+b}.

Passo 5

Agora integro o lado direito:
\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C,
onde C é constante de integração.
Igualando as duas integrais obtém-se a relação implícita
\frac{1}{a}\sqrt{a y^{2}+b}=\ln|x|+C.
Multiplicando por a e renomeando a constante para C_{1}=aC, fica
\sqrt{a y^{2}+b}=a\ln|x|+C_{1}.
Explicação sobre o sinal: o lado esquerdo é uma raiz não-negativa, por isso o lado direito deve ser \ge 0 onde a igualdade valer (isso impõe restrição sobre x e C_1 no domínio real).

Passo 6

Se for desejável isolar y explicitamente, eleva-se ao quadrado (com cuidado quanto a condições):
a y^{2}+b=(a\ln|x|+C_{1})^{2}.
Logo
y^{2}=\frac{(a\ln|x|+C_{1})^{2}-b}{a}.
Portanto, em forma explícita,
y=\pm\sqrt{\frac{(a\ln|x|+C_{1})^{2}-b}{a}},
com as restrições necessárias para que o radicando seja não-negativo e que \sqrt{a y^{2}+b}=a\ln|x|+C_{1} seja consistente (i.e., o lado direito não-negativo). Além disso, essa família vale para x\neq 0.

Passo 7

Tratamento das soluções especiais e domínio:
  • A solução geral implícita é
\frac{1}{a}\sqrt{a y^{2}+b}=\ln|x|+C,
válida para x\neq 0 e pontos onde a y^{2}+b\ge 0. Esta forma já impõe que \ln|x|+C\ge 0 porque a raiz é não-negativa.
  • A forma explícita é
y=\pm\sqrt{\frac{(a\ln|x|+C_{1})^{2}-b}{a}},
com C_{1}=aC e lembrando as condições de existência (conteúdo do radical não-negativo e x\neq 0).
  • Solução constante possível: se b=0 então y\equiv 0 satisfaz a equação (substituindo y=0 \sqrt{0}-0=0). Para b\neq 0 não há solução constante y\equiv const que satisfaça a equação, a não ser valores que cumpram \sqrt{a y^{2}+b}=0 (o que exige a y^{2}+b=0) — isso só ocorre se o par (a,b) permitir.
  • Observação sobre x=0: a separação usou divisão por x, por isso a solução geral acima é para x\neq 0. Na equação original, em x=0 deve valer \sqrt{a y^{2}+b}=0, logo apenas valores de y que satisfazem a y^{2}+b=0 são compatíveis em x=0; isso é uma condição de ponto isolado e não gera, em geral, uma solução contínua estendida automaticamente a x=0.

Resposta

\dfrac{1}{a}\sqrt{a y^{2}+b}=\ln|x|+C,\quad x\neq 0,\\ \text{com}\\ a y^{2}+b\ge 0.
y=\pm\sqrt{\dfrac{(a\ln|x|+C_{1})^{2}-b}{a}},\quad C_{1}=aC,\\ x\neq 0, sujeito à existência real do radical.
Se b=0 então y\equiv 0 é uma solução particular.

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