(0.5) Considere a equação diferencial que governa o sistema massa mola com amortecimento
onde
são constantes positivas e
é a massa,
é a constante da mola,
constante de amortecimento. Apresente todas as formas da solução geral da edo (4).
Passo 1
O enunciado é a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes que modela um sistema massa–mola amortecido:
com
,
,
. O conteúdo é solução de EDOs lineares de coeficientes constantes, e vamos precisar montar a equação característica e analisar seu discriminante.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada:
As raízes são dadas por
Denotamos o discriminante por
.
Passo 3
Caso
(amortecimento forte ou sobreamortecido), as raízes
e
são reais e distintas:
A solução geral é
Passo 4
Caso
(amortecimento crítico), há raiz dupla
A solução geral assume a forma
Passo 5
Caso
(amortecimento fraco ou subamortecido), as raízes são complexas conjugadas
A solução real geral pode ser escrita como
ou em forma exponencial-complexa
Resposta
Para
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