(0.5) Considere a equação diferencial que governa o sistema massa mola com amortecimento
m y^prime prime+gamma y^prime+k y=0
onde m, gamma, k são constantes positivas e m é a massa, k é a constante da mola, gamma constante de amortecimento. Apresente todas as formas da solução geral da edo (4).

Passo 1

O enunciado é a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes que modela um sistema massa–mola amortecido:
m,y'' + gamma,y' + k,y = 0,
com m>0, gamma>0, k>0. O conteúdo é solução de EDOs lineares de coeficientes constantes, e vamos precisar montar a equação característica e analisar seu discriminante.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
m,r^2 + gamma,r + k = 0
As raízes são dadas por
r = -gamma pm raizgamma^2 - 4mk2m
Denotamos o discriminante por De<a = gamma^2 - 4mk.

Passo 3

Caso De<a > 0 (amortecimento forte ou sobreamortecido), as raízes r1 e r2 são reais e distintas:
r1,2 = -gamma pm raizgamma^2 - 4mk2m
A solução geral é
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t

Passo 4

Caso De<a = 0 (amortecimento crítico), há raiz dupla
r = -gamma2m
A solução geral assume a forma
y(t) = l(C1 + C2,tr),e^-gamma2mt

Passo 5

Caso De<a < 0 (amortecimento fraco ou subamortecido), as raízes são complexas conjugadas
r = -gamma2m pm i,omegad, omegad = raiz4mk - gamma^22m
A solução real geral pode ser escrita como
y(t) = e^-gamma2mt l(Acos(omegad t) + Bsin(omegad t)r),
ou em forma exponencial-complexa
y(t) = C,e^(-gamma2m + iomegad)t + D,e^(-gamma2m - iomegad)t

Resposta

Para De<a = gamma^2 - 4mk:
  1. De<a>0:
y(t) = C1 e^-gamma + raizgamma^2 - 4mk2mt + C2 e^-gamma - raizgamma^2 - 4mk2mt
  1. De<a=0:
y(t) = l(C1 + C2,tr)e^-gamma2mt
  1. De<a<0:
y(t) = e^-gamma2mtl(Acos(tfracraiz4mk-gamma^22mt) + Bsin(tfracraiz4mk-gamma^22mt)r)

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