Considere a equação diferencial homogênea:
- Determine a equação característica associada a essa equação diferencial.
- Encontre as soluções particulares para essa equação diferencial.
- Escreva a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do segundo grau que a gente tem aqui:
Isso tudo faz parte do estudo de equações diferenciais lineares homogêneas. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a equação característica, achar as soluções particulares e, por fim, juntar tudo isso para montar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar essa equação diferencial numa equação algébrica mais fácil de resolver, chamada de equação característica. Essa transformação é possível porque estamos lidando com uma equação linear homogênea com coeficientes constantes. A regra é substituir
por
,
por
e
por
. Então, nossa equação característica fica assim:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de
. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Como temos a raiz de um número negativo (
), os valores de
serão complexos:
Passo 4
Com os valores de
, sabemos que a solução da equação diferencial vai envolver exponenciais e funções trigonométricas devido à parte imaginária. A forma geral da solução para raízes complexas
é:
No nosso caso,
e
, então substituímos esses valores na fórmula.
Passo 5
Finalmente, juntando tudo que vimos, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é: