Considere a equação diferencial homogênea:
y^prime prime(x)-4 y^prime(x)+5 y(x)=0
  1. Determine a equação característica associada a essa equação diferencial.
  2. Encontre as soluções particulares para essa equação diferencial.
  3. Escreva a solução geral da equação diferencial dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do segundo grau que a gente tem aqui:
y''(x) - 4y'(x) + 5y(x) = 0
Isso tudo faz parte do estudo de equações diferenciais lineares homogêneas. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a equação característica, achar as soluções particulares e, por fim, juntar tudo isso para montar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar essa equação diferencial numa equação algébrica mais fácil de resolver, chamada de equação característica. Essa transformação é possível porque estamos lidando com uma equação linear homogênea com coeficientes constantes. A regra é substituir y'' por r^2 , y' por r e y por 1 . Então, nossa equação característica fica assim:
r^2 - 4r + 5 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de r . Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
r = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot 52 cdot 1 = 4 pm raiz16 - 202 = 4 pm raiz-42
Como temos a raiz de um número negativo ( raiz-4 = 2i ), os valores de r serão complexos:
r = 4 pm 2i2 = 2 pm i

Passo 4

Com os valores de r = 2 pm i , sabemos que a solução da equação diferencial vai envolver exponenciais e funções trigonométricas devido à parte imaginária. A forma geral da solução para raízes complexas alpha pm beta i é:
y(x) = e^alpha x ( C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x) )
No nosso caso, alpha = 2 e beta = 1 , então substituímos esses valores na fórmula.

Passo 5

Finalmente, juntando tudo que vimos, a solução geral da equação diferencial é:
y(x) = e^2x ( C1 cos(x) + C2 sin(x) )

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
y(x) = e^2x ( C1 cos(x) + C2 sin(x) )

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