Considere a equação diferencial não homogênea:
y^prime prime(x)+3 y^prime(x)+2 y(x)=e^2 x
  1. Resolva a equação homogênea associada a essa equação diferencial.
  2. Encontre a solução particular utilizando o método de coeficientes a determinar.
  3. Escreva a solução geral da equação completa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial não homogênea do tipo:
y''(x) + 3y'(x) + 2y(x) = e^2x
Isso envolve resolução de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar primeiro resolver a parte homogênea (ou seja, sem o termo do lado direito) e depois encontrar uma solução específica que encaixe com o termo não homogêneo usando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y''(x) + 3y'(x) + 2y(x) = 0
Para resolver essa equação, a gente forma a equação característica substituindo y(x) por e^rx , o que nos dá:
r^2 + 3r + 2 = 0
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes r :
r = -3 pm raiz9 - 82 = -3 pm 12
Então, temos duas raízes:
r1 = -1 e r2 = -2
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x
Onde C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea usando o método dos coeficientes a determinar. O lado direito da equação é e^2x , então vamos supor que a solução particular tem a forma:
yp(x) = A e^2x
Onde A é uma constante que precisamos encontrar. Vamos substituir yp(x) na equação original:
yp''(x) + 3yp'(x) + 2yp(x) = e^2x
Calculando as derivadas:
yp'(x) = 2A e^2x yp''(x) = 4A e^2x
Substituindo na equação:
4A e^2x + 3(2A e^2x) + 2(A e^2x) = e^2x 4A e^2x + 6A e^2x + 2A e^2x = e^2x (4A + 6A + 2A) e^2x = e^2x 12A e^2x = e^2x
Agora, igualamos os coeficientes:
12A = 1 A = 112
Então, a solução particular é:
yp(x) = 112 e^2x

Passo 4

Por fim, a solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x + 112 e^2x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x + 112 e^2x

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