Considere a equação diferencial não homogênea:
- Resolva a equação homogênea associada a essa equação diferencial.
- Encontre a solução particular utilizando o método de coeficientes a determinar.
- Escreva a solução geral da equação completa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial não homogênea do tipo:
Isso envolve resolução de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar primeiro resolver a parte homogênea (ou seja, sem o termo do lado direito) e depois encontrar uma solução específica que encaixe com o termo não homogêneo usando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, a gente forma a equação característica substituindo
por
, o que nos dá:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
:
Então, temos duas raízes:
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea usando o método dos coeficientes a determinar. O lado direito da equação é
, então vamos supor que a solução particular tem a forma:
Onde
é uma constante que precisamos encontrar. Vamos substituir
na equação original:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Agora, igualamos os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 4
Por fim, a solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: