Considere a equação diferencial
\left(x+\frac{y}{x}\right) d x+\left(1+\frac{e^{y}}{x}\right) d y=0
(a) Classifique-a quanto à sua ordem e quanto à linearidade. R: Ordem 1. É não linear pois não pode ser escrita na forma y^{\prime}+f(x) y=g(x)
(b) Mostre que ela não é exata.
(c) Transforme a EDO em um equação exata multiplicando (3) por um fator integrante que depende só de \mathrm{x} . \quad \mathrm{R}: u(x)=x, \quad\left(x^{2}+y\right) d x+\left(x+e^{y}\right) d y=0
(d) Resolva a EDO obtida em (c). R: \frac{x^{3}}{3}+x y+e^{y}=C

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\Bigl(x+\frac{y}{x}\Bigr)\,dx+\Bigl(1+\frac{e^{y}}{x}\Bigr)\,dy=0
e pede: (a) classificação de ordem e linearidade; (b) mostrar que não é exata; (c) achar um fator integrante \mu(x); (d) resolver a EDO multiplicada por esse fator.

Passo 2

Classificação: é de primeira ordem porque envolve apenas dx e dy sem derivadas de ordem superior. Para ser linear em y, deveríamos escrever algo como
y' + f(x)\,y = g(x),
mas aqui aparece \tfrac{y}{x} em dx e e^{y} em dy, o que impede a forma y'+f(x)y=g(x). Logo, é não-linear.

Passo 3

Escrevendo
M(x,y)=x+\frac{y}{x}, \quad N(x,y)=1+\frac{e^{y}}{x},
temos \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=\frac1{x}
e \displaystyle \frac{\partial N}{\partial x}=-\frac{e^{y}}{x^{2}}.
Como \tfrac{\partial M}{\partial y}\neq \tfrac{\partial N}{\partial x}, a equação não é exata.

Passo 4

Buscamos \mu=\mu(x). O teste é
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} =\frac{\frac1{x}-\bigl(-\frac{e^{y}}{x^{2}}\bigr)}{1+\frac{e^{y}}{x}} =\frac{\frac{x+e^{y}}{x^{2}}}{\frac{x+e^{y}}{x}} =\frac1{x}.
Como isso depende só de x,
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int\frac{1}{x}\,dx\Bigr)=x.

Passo 5

Multiplicando a equação original por x obtemos
\bigl(x^{2}+y\bigr)\,dx+\bigl(x+e^{y}\bigr)\,dy=0.
Agora \partial_x(x^{2}+y)=2x e \partial_y(x+e^{y})=e^{y},
ops, nota: o correto é verificar exatidão de \tilde M=x^{2}+y, \tilde N=x+e^{y}: \tilde M_{y}=1, \tilde N_{x}=1, exata.

Passo 6

Procuramos \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=x^{2}+y.
Integrando em x:
\Phi(x,y)=\frac{x^{3}}{3}+x\,y+h(y).
Derivando em y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=x+h'(y)
deve igualar \tilde N=x+e^{y}, logo h'(y)=e^{y} e h(y)=e^{y}.
Assim
\Phi(x,y)=\frac{x^{3}}{3}+x\,y+e^{y}=C.

Resposta

(a) Ordem 1 e não linear
(b) Não exata, pois \partial M/\partial y=1/x\neq -e^{y}/x^{2}=\partial N/\partial x
(c) \mu(x)=x
(d) \displaystyle \frac{x^{3}}{3}+x\,y+e^{y}=C

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