Considere a equação diferencial
(a) Classifique-a quanto à sua ordem e quanto à linearidade. R: Ordem 1. É não linear pois não pode ser escrita na forma
(b) Mostre que ela não é exata.
(c) Transforme a EDO em um equação exata multiplicando (3) por um fator integrante que depende só de
(d) Resolva a EDO obtida em (c). R:
(b) Mostre que ela não é exata.
(c) Transforme a EDO em um equação exata multiplicando (3) por um fator integrante que depende só de
(d) Resolva a EDO obtida em (c). R:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede: (a) classificação de ordem e linearidade; (b) mostrar que não é exata; (c) achar um fator integrante
; (d) resolver a EDO multiplicada por esse fator.
Passo 2
Classificação: é de primeira ordem porque envolve apenas
e
sem derivadas de ordem superior. Para ser linear em
, deveríamos escrever algo como
mas aqui aparece
em
e
em
, o que impede a forma
. Logo, é não-linear.
Passo 3
Escrevendo
temos
e .
Como , a equação não é exata.
e
Como
Passo 4
Buscamos
. O teste é
Como isso depende só de
,
Passo 5
Multiplicando a equação original por
obtemos
Agora
e
,
ops, nota: o correto é verificar exatidão de ,
:
,
, exata.
ops, nota: o correto é verificar exatidão de
Passo 6
Procuramos
tal que
Integrando em
:
Derivando em
:
deve igualar
, logo
e
.
Assim
Assim
Resposta
(a) Ordem 1 e não linear
(b) Não exata, pois
(c)
(d)
(b) Não exata, pois
(c)
(d)