Dado o problema de valor inicial (PVI)
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+3 y^{2}}{2 x y}, \quad y(1)=1
(a) Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade. R: Ordem 1. É não linear pois não pode ser escrita na forma y^{\prime}+f(x) y=g(x)
(b) Sem resolver a EDO, é possível determinar o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única)? Justifique. R: Não é possível pois a ED não é linear.
(c) Mostre que a EDO é homogênea.
(d) Determine a solução do PVI. R: y(x)=x \sqrt{2 x-1}

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+3y^{2}}{2xy},\qquad y(1)=1.
Vamos fazer quatro coisas: (a) classificar a EDO em ordem e linearidade, (b) discutir existência e unicidade de solução sem resolver, (c) mostrar que é homogênea e (d) encontrar a solução do PVI.

Passo 2

Para classificar a EDO, note que aparece apenas dy/dx (nenhuma derivada de ordem maior), logo é de primeira ordem. Não é linear porque não pode ser escrita na forma
y'+f(x)\,y=g(x),
já que o termo do lado direito envolve y^2 e também divide por y.

Passo 3

Considere a função
f(x,y)=\frac{x^{2}+3y^{2}}{2xy}.
Ela é contínua em qualquer região onde x\neq0 e y\neq0. Pelo Teorema de Picard–Lindelöf, existe e é única uma solução passando por (1,1) num intervalo em que f e \partial f/\partial y sejam contínuas. Mas como f deixa de existir se x ou y atingirem zero, e nós não sabemos onde y(x) poderá anular-se sem resolver a EDO, não dá para determinar a extensão máxima dessa região de forma prévia.

Passo 4

Uma EDO é homogênea de grau zero se ao substituir (x,y)\to(tx,ty) a razão dy/dx=f(x,y) não muda. Aqui
f(tx,ty)=\frac{(tx)^{2}+3(ty)^{2}}{2\,(tx)\,(ty)} =\frac{t^{2}x^{2}+3t^{2}y^{2}}{2t^{2}xy} =\frac{x^{2}+3y^{2}}{2xy} =f(x,y),
logo é homogênea.

Passo 5

Para resolver, usamos a substituição y=v\,x, isto é, v=y/x. Então
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx} \quad\text{e}\quad \frac{x^{2}+3y^{2}}{2xy} =\frac{x^{2}+3v^{2}x^{2}}{2x\cdot v\,x} =\frac{1+3v^{2}}{2v}.
Igualando,
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{1+3v^{2}}{2v} \quad\Longrightarrow\quad x\frac{dv}{dx} =\frac{1+3v^{2}}{2v}-v =\frac{1+v^{2}}{2v}.
Separamos as variáveis:
\frac{2v}{1+v^{2}}\,dv=\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \ln(1+v^{2})=\ln|x|+C.
Logo 1+v^{2}=C\,x. Pelo PVI, em x=1 temos y=1\Rightarrow v=1, daí 1+1=C\cdot1\Rightarrow C=2. Então
v^{2}=2x-1, \quad v=\sqrt{2x-1} \quad(x\ge\tfrac12),
e
y=v\,x =x\sqrt{2x-1}.

Resposta

(a) Ordem 1; não é linear.
(b) Não é possível determinar o maior intervalo sem resolver, pois a região de existência depende de onde y poderia anular-se e tornar f indefinida.
(c) Sim, é homogênea (grau zero).
(d) \displaystyle y(x)=x\sqrt{2x-1}.

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