Dado o problema de valor inicial (PVI)
(a) Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade. R: Ordem 1. É não linear pois não pode ser escrita na forma
(b) Sem resolver a EDO, é possível determinar o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única)? Justifique. R: Não é possível pois a ED não é linear.
(c) Mostre que a EDO é homogênea.
(d) Determine a solução do PVI. R:
(b) Sem resolver a EDO, é possível determinar o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única)? Justifique. R: Não é possível pois a ED não é linear.
(c) Mostre que a EDO é homogênea.
(d) Determine a solução do PVI. R:
Passo 1
O enunciado apresenta o problema de valor inicial
Vamos fazer quatro coisas: (a) classificar a EDO em ordem e linearidade, (b) discutir existência e unicidade de solução sem resolver, (c) mostrar que é homogênea e (d) encontrar a solução do PVI.
Passo 2
Para classificar a EDO, note que aparece apenas
(nenhuma derivada de ordem maior), logo é de primeira ordem. Não é linear porque não pode ser escrita na forma
já que o termo do lado direito envolve
e também divide por
.
Passo 3
Considere a função
Ela é contínua em qualquer região onde
e
. Pelo Teorema de Picard–Lindelöf, existe e é única uma solução passando por
num intervalo em que
e
sejam contínuas. Mas como
deixa de existir se
ou
atingirem zero, e nós não sabemos onde
poderá anular-se sem resolver a EDO, não dá para determinar a extensão máxima dessa região de forma prévia.
Passo 4
Uma EDO é homogênea de grau zero se ao substituir
a razão
não muda. Aqui
logo é homogênea.
Passo 5
Para resolver, usamos a substituição
, isto é,
. Então
Igualando,
Separamos as variáveis:
Logo
. Pelo PVI, em
temos
, daí
. Então
e
Resposta
(a) Ordem
; não é linear.
(b) Não é possível determinar o maior intervalo sem resolver, pois a região de existência depende de onde poderia anular-se e tornar
indefinida.
(c) Sim, é homogênea (grau zero).
(d)
(b) Não é possível determinar o maior intervalo sem resolver, pois a região de existência depende de onde
(c) Sim, é homogênea (grau zero).
(d)