Dada a equação diferencial
(a) Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade. R: Ordem 1. É linear pois pode ser escrita na forma
(b) Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única). R: R
(c) Encontre a solução do PVI. R:
(b) Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única). R: R
(c) Encontre a solução do PVI. R:
Passo 1
O enunciado apresenta o problema de valor inicial
que é uma EDO de primeira ordem do tipo linear não homogênea. Para resolver precisamos usar o método do fator integrante e aplicar o teorema de existência e unicidade para EDO’s lineares.
Passo 2
Classificação da EDO:
É de ordem 1 pois envolve apenas . É linear porque pode ser escrita na forma
É de ordem 1 pois envolve apenas
com
e
.
Passo 3
Para existência e unicidade usamos o fato de que
e
são funções contínuas para todo
. Portanto, a solução existe e é única em todo o eixo real, ou seja, no intervalo
.
Passo 4
Vamos encontrar a solução geral. O fator integrante é
Multiplicando a EDO por
obtemos
Integramos ambos os lados:
Logo a solução geral é
Passo 5
Aplicando a condição inicial
:
Substituindo em
vem
Resposta
(a) Ordem
e linear.
(b) A solução existe e é única em todo .
(b) A solução existe e é única em todo
(c)