Dada a equação diferencial
\frac{d y}{d x}+y=\frac{1}{1+e^{x}}, \quad y(0)=1
(a) Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade. R: Ordem 1. É linear pois pode ser escrita na forma y^{\prime}+f(x) y=g(x)
(b) Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única). R: R
(c) Encontre a solução do PVI. R: y=e^{-x}\left(\ln \left(e^{x}+1\right)+1-\ln 2\right)

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
\frac{dy}{dx}+y=\frac{1}{1+e^{x}},\quad y(0)=1
que é uma EDO de primeira ordem do tipo linear não homogênea. Para resolver precisamos usar o método do fator integrante e aplicar o teorema de existência e unicidade para EDO’s lineares.

Passo 2

Classificação da EDO:
É de ordem 1 pois envolve apenas dy/dx. É linear porque pode ser escrita na forma
y'+p(x)\,y=q(x)
com p(x)=1 e q(x)=1/(1+e^{x}).

Passo 3

Para existência e unicidade usamos o fato de que p(x)=1 e q(x)=1/(1+e^{x}) são funções contínuas para todo x\in\mathbb{R}. Portanto, a solução existe e é única em todo o eixo real, ou seja, no intervalo \mathbb{R}.

Passo 4

Vamos encontrar a solução geral. O fator integrante é
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}=e^{\int1\,dx}=e^{x}.
Multiplicando a EDO por \mu(x) obtemos
e^{x}y'+e^{x}y=\frac{e^{x}}{1+e^{x}} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}\bigl(e^{x}y\bigr)=\frac{e^{x}}{1+e^{x}}.
Integramos ambos os lados:
e^{x}y=\int\frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx +C =\ln\bigl(1+e^{x}\bigr)+C.
Logo a solução geral é
y=e^{-x}\bigl(\ln(1+e^{x})+C\bigr).

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(0)=1:
1=e^{0}\bigl(\ln(1+e^{0})+C\bigr) =\ln2 +C \;\Longrightarrow\; C=1-\ln2.
Substituindo em y vem
y=e^{-x}\Bigl(\ln(1+e^{x})+1-\ln2\Bigr).

Resposta

(a) Ordem 1 e linear.
(b) A solução existe e é única em todo \mathbb{R}.
(c) y=e^{-x}\bigl(\ln(1+e^{x})+1-\ln2\bigr).

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