Considere a equação diferencial linear de primeira ordem abaixo:
y^prime+3 yt=e^tt^3+2t^4
Encontre a solução geral da equação (3) utilizando um fator integrante mu=mu(t). Se preciso, use o fato que e^a ln t=t^a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial linear de primeira ordem:
y^prime + 3 yt = e^tt^3 + 2t^4
Para resolver essa equação, vamos usar um fator integrante mu(t). Além disso, caso precise, vamos lembrar que e^a ln t = t^a. Vamos descomplicar isso juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a forma geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
y^prime + P(t) y = Q(t)
Aqui, P(t) = 3t e Q(t) = e^tt^3 + 2t^4.
Para resolver, precisamos encontrar um fator integrante mu(t) que nos ajude a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt
Vamos calcular essa integral.

Passo 3

Calculando a integral de P(t):
integral P(t) dt = integral 3t dt = 3 ln t
Então, o fator integrante é:
mu(t) = e^3 ln t = t^3
Aqui, usamos o fato de que e^a ln t = t^a para simplificar a expressão.

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(t) = t^3:
t^3 y^prime + t^3 cdot 3 yt = t^3 ( e^tt^3 + 2t^4 )
Simplificando cada termo:
t^3 y^prime + 3 t^2 y = e^t + 2t

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como a derivada de (mu(t) y):
ddt (t^3 y) = e^t + 2t
Isso ocorre porque multiplicamos pela mu(t) justamente para que o lado esquerdo da equação se torne a derivada do produto mu(t) y.

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddt (t^3 y) dt = integral ( e^t + 2t ) dt
Integrando:
t^3 y = e^t + 2 ln t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para y dividindo ambos os lados por t^3:
y = e^tt^3 + 2 ln tt^3 + Ct^3

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = e^tt^3 + 2 ln tt^3 + Ct^3
Onde C é uma constante arbitrária.

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