Considere a equação diferencial linear de primeira ordem abaixo:
Encontre a solução geral da equação (3) utilizando um fator integrante
. Se preciso, use o fato que
.
Encontre a solução geral da equação (3) utilizando um fator integrante
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Para resolver essa equação, vamos usar um fator integrante
. Além disso, caso precise, vamos lembrar que
. Vamos descomplicar isso juntos!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a forma geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Aqui,
e
.
Para resolver, precisamos encontrar um fator integrante
que nos ajude a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular essa integral.
Passo 3
Calculando a integral de
:
Então, o fator integrante é:
Aqui, usamos o fato de que
para simplificar a expressão.
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando cada termo:
Passo 5
A equação agora pode ser escrita como a derivada de
:
Isso ocorre porque multiplicamos pela
justamente para que o lado esquerdo da equação se torne a derivada do produto
.
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.