Exercício 1. (FGV - 2017) Dois conjuntos A e B têm a mesma quantidade de elementos. A união deles tem 2017 elementos e a interseção deles tem 1007 elementos. Qual o número de elementos do conjunto A ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois conjuntos, o $ A $ e o $ B A êã A \cup B B çã A \cap B $) tem 1007 elementos. Nosso objetivo aqui é descobrir quantos elementos tem o conjunto $ A $.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar de uma fórmula importante da teoria dos conjuntos que relaciona a união e a interseção de dois conjuntos. A fórmula é:
|A cup B| = |A| + |B| - |A cap B|
Essa fórmula nos ajuda a calcular a quantidade total de elementos na união de dois conjuntos, levando em conta que os elementos que estão na interseção são contados duas vezes quando somamos $ |A| $ e $ |B| $, então precisamos subtrair $ |A \cap B| $ para corrigir isso.

Passo 3

Sabemos que $ |A| = |B| $ porque ambos os conjuntos têm a mesma quantidade de elementos. Vamos chamar essa quantidade de $ n $. Então, temos:
|A| = |B|

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da união:
|A cup B| = n + n - |A cap B|
Sabemos que $ |A \cup B| = 2017 $ e $ |A \cap B| = 1007 $. Substituindo esses valores, temos:
|A cup B| = 2017

Passo 5

Simplificando a equação:
2017 = 2n - 1007
Agora, vamos isolar $ 2n $ adicionando 1007 aos dois lados da equação:
2n
2017 + 1007 = 2n

Passo 6

Para encontrar o valor de $ n $, basta dividir ambos os lados da equação por 2:
n

Resposta

O conjunto $ A $ tem 1512 elementos.

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