Exercício 1. (FGV - 2017) Dois conjuntos
e
têm a mesma quantidade de elementos. A união deles tem 2017 elementos e a interseção deles tem 1007 elementos. Qual o número de elementos do conjunto
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois conjuntos, o $ A $ e o $ B
A \cup B
A \cap B $) tem 1007 elementos. Nosso objetivo aqui é descobrir quantos elementos tem o conjunto $ A $.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar de uma fórmula importante da teoria dos conjuntos que relaciona a união e a interseção de dois conjuntos. A fórmula é:
Essa fórmula nos ajuda a calcular a quantidade total de elementos na união de dois conjuntos, levando em conta que os elementos que estão na interseção são contados duas vezes quando somamos $ |A| $ e $ |B| $, então precisamos subtrair $ |A \cap B| $ para corrigir isso.
Passo 3
Sabemos que $ |A| = |B| $ porque ambos os conjuntos têm a mesma quantidade de elementos. Vamos chamar essa quantidade de $ n $. Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da união:
Sabemos que $ |A \cup B| = 2017 $ e $ |A \cap B| = 1007 $. Substituindo esses valores, temos:
Passo 5
Simplificando a equação:
Agora, vamos isolar $ 2n $ adicionando 1007 aos dois lados da equação:
Passo 6
Para encontrar o valor de $ n $, basta dividir ambos os lados da equação por 2:
Resposta
O conjunto $ A $ tem 1512 elementos.