Resolva o PVI:
(y-1) y^prime-x^2+1y=0, com y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI dado por (y-1)y' - x^2+1y = 0 com a condição inicial y(1)=0. Isso é uma EDO de primeira ordem e o método mais apropriado aqui é separar variáveis e integrar.

Passo 2

Reescrevendo a EDO em forma separável, isolamos y':
(y-1)y' = x^2+1y
y' = x^2+1y(y-1)
Agora levamos todos os termos em y para o lado esquerdo e os termos em x para o direito:
Com a separação feita, integramos ambos os lados:
integral y(y-1),dy = integral (x^2+1),dx
Do lado esquerdo temos
integral (y^2 - y),dy = y^33 - y^22
e do direito
integral (x^2 + 1),dx = x^33 + x + C
Portanto a solução geral implícita é
y^33 - y^22 = x^33 + x + C

Passo 3

Para determinar a constante C, usamos a condição inicial y(1)=0. Substituindo na solução implícita:
0^33 - 0^22 = 1^33 + 1 + C
Logo
0 = 13 + 1 + C Rightarrow C = -43

Passo 4

Substituindo C=-tfrac43 na solução geral, obtemos a solução particular implícita do PVI:
A forma final é
y^33 - y^22 = x^33 + x - 43

Resposta

A solução implícita do PVI é
y^33 - y^22 = x^33 + x - 43

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