Considere a equação diferencial linear de primeira ordem, na forma \frac{d y}{d x}+P(x) y=f(x).
(a) Obtenha o fator integrante que transforma esta equação em uma edo exata.
(Spoiler: deve ser obtido \mu(x)=e^{\int P(x) d x} ).
(b) Multiplique a equação dada pelo fator integrante obtido, \mu(x), e obtenha o lado esquerdo da igualdade, como a derivada do produto de \mu(x), e da variável dependente y.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = f(x)
e pede (a) o fator integrante \mu(x) que torna a equação exata, e (b) mostrar que, ao multiplicar por \mu(x), o lado esquerdo fica como a derivada de \mu(x)\,y.

Passo 2

Para achar \mu(x) queremos que, após multiplicar, o termo
\mu(x)\,\frac{dy}{dx} + \mu(x)\,P(x)\,y
seja reconhecido como
\frac{d}{dx}\bigl[\mu(x)\,y\bigr] =\mu(x)\,\frac{dy}{dx}+\frac{d\mu}{dx}\,y.
Comparando os dois, precisamos de
\frac{d\mu}{dx}=\mu(x)\,P(x).
Isso é uma EDO separável para \mu:
\frac{1}{\mu}\,\frac{d\mu}{dx}=P(x) \quad\Longrightarrow\quad \int\frac{d\mu}{\mu}=\int P(x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\bigl|\mu(x)\bigr|=\int P(x)\,dx + C.
Escolhendo C=0 (pois qualquer constante leva a fator equivalente), obtemos
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr).

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(x)
\mu(x)\,\frac{dy}{dx} + \mu(x)\,P(x)\,y = \mu(x)\,f(x).
Como mostramos que \frac{d\mu}{dx}=\mu\,P, o lado esquerdo é
\mu\,\frac{dy}{dx}+\frac{d\mu}{dx}\,y =\frac{d}{dx}\bigl[\mu(x)\,y\bigr].
Logo a equação fica
\frac{d}{dx}\bigl[\mu(x)\,y\bigr]=\mu(x)\,f(x),
como pedido.

Resposta

(a) \displaystyle \mu(x)=\exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr).
(b) Ao multiplicar, o lado esquerdo torna-se \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl[\mu(x)\,y\bigr].

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