Considere a equação diferencial linear de primeira ordem, na forma \frac{d y}{d x}+P(x) y=f(x).
(a) Obtenha o fator integrante que transforma esta equação em uma edo exata.
(Spoiler: deve ser obtido \mu(x)=e^{\int P(x) d x} ).
(b) Multiplique a equação dada pelo fator integrante obtido, \mu(x), e obtenha o lado esquerdo da igualdade, como a derivada do produto de \mu(x), e da variável dependente y.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = f(x)
e pede (a) o fator integrante \mu(x) que torna a equação exata, e (b) mostrar que, ao multiplicar por \mu(x), o lado esquerdo fica como a derivada de \mu(x)\,y.
Passo 2
Para achar \mu(x) queremos que, após multiplicar, o termo
(a) \displaystyle \mu(x)=\exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr).
(b) Ao multiplicar, o lado esquerdo torna-se \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl[\mu(x)\,y\bigr].