Considere a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
y^prime prime-y^prime=2 e^t+sen(2 t)
Encontre a solução geral da equação (2) utilizando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y''-y'=2e^t+sin(2t)
Iremos usar o método dos coeficientes a determinar, que consiste em obter primeiro a solução geral da homogênea e depois encontrar uma particular para cada termo da força externa.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y''-y'=0
montamos a equação característica
lambda^2-lambda=0implieslambda(lambda-1)=0
portanto lambda1=0 e lambda2=1, e
yh=C1e^0cdot t+C2e^1cdot t=C1+C2e^t

Passo 3

Para o termo 2e^t, como e^t já é solução da homogênea (multiplicidade 1), tomamos
yp1=A,t,e^t
Calculamos
yp1'=A,e^t(t+1), yp1''=A,e^t(t+2)
Substituindo em y''-y' só esse termo, vem
yp1''-yp1'=A,e^t[(t+2)-(t+1)]=A,e^t=2e^t,
logo A=2.

Passo 4

Para o termo
Então
Logo
deve ser igual a , isto é
Da primeira equação (D=-2B]. Substituindo na segunda:

Passo 5

A solução particular completa é
yp=yp1+yp2 =2t,e^t+tfrac110cos(2t)-tfrac15sin(2t)
Logo a solução geral da equação original é
y=yh+yp =C1+C2e^t+2t,e^t+tfrac110cos(2t)-tfrac15sin(2t)

Resposta

y=C1+C2e^t+2t,e^t+110cos(2t)-15sin(2t)

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