A posição de determinado sistema mola-massa satisfaz o problema de valor inicial (PVI):
y^prime prime+14 y^prime+2 y=0, u(0)=0, u^prime(0)=2
Esse sistema massa-mola possui que tipo de comportamento: oscilatório perpétuo, oscilatório amortecido ou somente amortecido, isto é, quando o atrito é relativamente grande que a mola não consegue oscilar? Justifique sua resposta com base na solução encontrada.

Passo 1

O enunciado dá um PVI para a posição y(t) de um sistema massa-mola com amortecimento linear:
y'' + tfrac14,y' + 2,y = 0, y(0)=0, y'(0)=2
O conteúdo é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar a equação característica para encontrar as raízes, montar a solução geral e aplicar as condições iniciais para depois classificar o comportamento do sistema.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à EDO homogênea:
r^2 + tfrac14,r + 2 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante:
De<a = l(tfrac14r)^2 - 4cdot1cdot2 = tfrac116 - 8 = -tfrac12716 < 0
Como De<a<0, as raízes são complexas conjugadas:
r = -tfrac18 pm tfraciraiz1278

Passo 4

A solução geral para raízes r=-tfrac18pm iomega com omega=tfracraiz1278 é
y(t) = e^-t/8l(Acos(omega t) + Bsin(omega t)r)
Impondo y(0)=0 A=0. Em seguida,
y'(t)=e^-t/8l[-tfrac18Bsin(omega t)+Bomegacos(omega t)r],
logo em t=0: y'(0)=Bomega=2, ou seja B=2/omega= tfrac16raiz127. Assim
y(t)=16raiz127,e^-t/8,sin!l(tfracraiz1278,tr)

Passo 5

Na solução aparece o fator exponencial e^-t/8 multiplicando a função seno. Isso faz com que a amplitude das oscilações decresça com o tempo, caracterizando um sistema oscilatório amortecido.

Resposta

Oscilatório amortecido.

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