A posição de determinado sistema mola-massa satisfaz o problema de valor inicial (PVI):
Esse sistema massa-mola possui que tipo de comportamento: oscilatório perpétuo, oscilatório amortecido ou somente amortecido, isto é, quando o atrito é relativamente grande que a mola não consegue oscilar? Justifique sua resposta com base na solução encontrada.
Passo 1
O enunciado dá um PVI para a posição
de um sistema massa-mola com amortecimento linear:
O conteúdo é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar a equação característica para encontrar as raízes, montar a solução geral e aplicar as condições iniciais para depois classificar o comportamento do sistema.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada à EDO homogênea:
Passo 3
Calculamos o discriminante:
Como
, as raízes são complexas conjugadas:
Passo 4
A solução geral para raízes
com
é
Impondo
dá
. Em seguida,
logo em
:
, ou seja
. Assim
Passo 5
Na solução aparece o fator exponencial
multiplicando a função seno. Isso faz com que a amplitude das oscilações decresça com o tempo, caracterizando um sistema oscilatório amortecido.
Resposta
Oscilatório amortecido.