DETERMINE E CLASSIFIQUE OS PONTOS CRÍTICOS DA FUNÇÃO f(x, y)=2x^3-6xy+y^2+4y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = 2x^{3} - 6xy + y^{2} + 4y $. Pra isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar achar onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero e depois ver que tipo de pontos críticos esses pontos são (mínimo, máximo ou ponto de sela).

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. A derivada parcial em relação a $ x $ ($ f_x $) é:
f
E a derivada parcial em relação a $ y $ ($ f_y $) é:
x

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente iguala essas derivadas a zero e resolve o sistema de equações:
6x^2 - 6y = 0 (1)
-6x + 2y + 4 = 0 (2)
Vamos simplificar a equação (1):
6x^2 = 6y Rightarrow y = x^2

Passo 4

Substituindo $ y = x^{2} $ na equação (2):
y = x^2
Vamos rearranjar a equação:
-6x + 2x^2 + 4 = 0
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
2x^2 - 6x + 4 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática $ x^{2} - 3x + 2 = 0 $:
x^2 - 3x + 2 = 0
Então, temos duas soluções para $ x $:
x = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12

Passo 6

Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de $ y $ usando $ y = x^{2} $:
Para $ x = 2 $:
y
Para $ x = 1 $:
y = x^2
Então, temos dois pontos críticos: $ (2, 4) $ e $ (1, 1) $.

Passo 7

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, encontramos as derivadas segundas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 12x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 2
fxy = fyx = partial^2 fpartial x partial y = -6
O discriminante $ D $ é dado por:
D

Passo 8

Vamos avaliar $ D $ e $ f_{xx} $ em cada ponto crítico.
Para o ponto $ (2, 4) $:
D
fxx
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, esse ponto é um mínimo local.
Para o ponto $ (1, 1) $:
(2, 4)
fxx = 12(2) = 24
Como $ D < 0 $, esse ponto é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são $ (2, 4) $, que é um mínimo local, e $ (1, 1) $, que é um ponto de sela.

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