DETERMINE E CLASSIFIQUE OS PONTOS CRÍTICOS DA FUNÇÃO
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = 2x^{3} - 6xy + y^{2} + 4y $. Pra isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar achar onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero e depois ver que tipo de pontos críticos esses pontos são (mínimo, máximo ou ponto de sela).
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. A derivada parcial em relação a $ x $ ($ f_x $) é:
E a derivada parcial em relação a $ y $ ($ f_y $) é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente iguala essas derivadas a zero e resolve o sistema de equações:
Vamos simplificar a equação (1):
Passo 4
Substituindo $ y = x^{2} $ na equação (2):
Vamos rearranjar a equação:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática $ x^{2} - 3x + 2 = 0 $:
Então, temos duas soluções para $ x $:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de $ y $ usando $ y = x^{2} $:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = 1 $:
Então, temos dois pontos críticos: $ (2, 4) $ e $ (1, 1) $.
Passo 7
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, encontramos as derivadas segundas:
O discriminante $ D $ é dado por:
Passo 8
Vamos avaliar $ D $ e $ f_{xx} $ em cada ponto crítico.
Para o ponto $ (2, 4) $:
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, esse ponto é um mínimo local.
Para o ponto $ (1, 1) $:
Como $ D < 0 $, esse ponto é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função são $ (2, 4) $, que é um mínimo local, e $ (1, 1) $, que é um ponto de sela.