Verifique se a equação (1) é exata. Em caso negativo, encontre um fator integrante.
Encontre a solução da equação exata.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata. Se não for, devemos encontrar um fator integrante e, em seguida, resolver a equação exata obtida. O conteúdo é de equações diferenciais exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Denotamos
Calculamos as derivadas parciais
e
Como , a equação não é exata.
e
Como
Passo 3
Buscamos um fator integrante
que dependa só de
. Para isso, verificamos
Como isso depende apenas de
, temos
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
Denotamos agora
Verificamos
e
,
logo a nova equação é exata.
e
logo a nova equação é exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
e
. Integramos
Derivando em
e igualando a
:
Passo 6
A solução implícita vem de
. Assim
é a família de curvas solução.