Verifique se a equação (1) é exata. Em caso negativo, encontre um fator integrante.
(3 x y+y^2) d x+(x^2+x y) d y=0
Encontre a solução da equação exata.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(3xy + y^2),dx + (x^2 + xy),dy = 0
e pede para verificar se ela é exata. Se não for, devemos encontrar um fator integrante e, em seguida, resolver a equação exata obtida. O conteúdo é de equações diferenciais exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Denotamos
M(x,y) = 3xy + y^2, N(x,y) = x^2 + xy
Calculamos as derivadas parciais
My = partial Mpartial y = 3x + 2y
e
Nx = partial Npartial x = 2x + y
Como My neq Nx, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante mu que dependa só de x. Para isso, verificamos
My - NxN = (3x+2y) - (2x+y)x^2 + xy = x + yx(x+y) = 1x
Como isso depende apenas de x, temos
mu(x) = expl(integral 1x,dxr) = x

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=x, obtendo
(3x^2y + x y^2),dx + (x^3 + x^2y),dy = 0
Denotamos agora
widetilde M(x,y) = 3x^2y + x y^2, widetilde N(x,y) = x^3 + x^2y
Verificamos
widetilde My = 3x^2 + 2xy
e
widetilde Nx = 3x^2 + 2xy,
logo a nova equação é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial phi(x,y) tal que
phix = widetilde M e phiy = widetilde N. Integramos
phi(x,y) = integral (3x^2y + x y^2),dx = yintegral 3x^2,dx + y^2integral x,dx = y,x^3 + tfrac12,y^2 x^2 + h(y)
Derivando em y e igualando a widetilde N:
phiy = x^3 + x^2y + h'(y) overset!= x^3 + x^2y Longrightarrow h'(y)=0;Rightarrow;h(y)=C

Passo 6

A solução implícita vem de phi(x,y)=constante. Assim
x^3y + tfrac12,x^2y^2 = C
é a família de curvas solução.

Resposta

x^3y + tfrac12,x^2y^2 = C

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