Considere a equação diferencial linear de segunda ordem:
y^{\prime \prime}+P_{1}(x) y^{\prime}+P_{0}(x) y=0
Suponha que x_{0} é um ponto singular regular. Podemos reescrever a equação na forma:
y^{\prime \prime}+\frac{p(x)}{\left(x-x_{0}\right)} y^{\prime}+\frac{q(x)}{\left(x-x_{0}\right)^{2}} y=0
onde p(x)=\left(x-x_{0}\right) P_{1}(x) e q(x)=\left(x-x_{0}\right)^{2} P_{0}(x) são funções analíticas em x=x_{0}. Com isso:
(a) Determine o polinômio indicial e suas raízes a partir da forma de Frobenius.
(b) Encontre a solução geral para a série de potências e derive a fórmula de recorrência.
(c) Liste e explique os métodos disponíveis para encontrar a segunda solução.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial linear de segunda ordem com um ponto singular regular x_{0}. Reescrevemos a equação como
y^{\prime\prime}+\frac{p(x)}{(x-x_{0})}\,y^{\prime}+\frac{q(x)}{(x-x_{0})^{2}}\,y=0
onde p(x) e q(x) são analíticas em x=x_{0}. As perguntas são:
(a) determinar o polinômio indicial e as suas raízes (ou seja, encontrar a equação que determina os expoentes da forma de Frobenius e resolver para esses expoentes);
(b) obter a solução em série pelo método de Frobenius e deduzir a fórmula de recorrência para os coeficientes da série;
(c) listar e explicar os métodos disponíveis para obter a segunda solução quando houver dificuldades (por exemplo, quando as raízes do indicial coincidirem ou diferirem por um inteiro).
Informações relevantes dadas:
  • p(x) e q(x) são analíticas em x_{0}, portanto têm séries de Taylor centradas em x_{0}:
p(x)=\sum_{m=0}^{\infty} p_{m}\,(x-x_{0})^{m},\qquad q(x)=\sum_{m=0}^{\infty} q_{m}\,(x-x_{0})^{m},
com p_{m}=\dfrac{p^{(m)}(x_{0})}{m!} e q_{m}=\dfrac{q^{(m)}(x_{0})}{m!}.
  • A ideia é usar a forma de Frobenius (uma potência singular multiplicada por série de potências) em torno de x_{0}.

Passo 2

Motivação da forma de Frobenius e ansatz. Perto de um ponto singular regular é natural procurar soluções da forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,(x-x_{0})^{n+r},
onde r é um número (possivelmente não inteiro) ainda desconhecido e a_{0}\neq 0. Explico cada parte:
  • r capta o comportamento singular (se existir) do fator principal (x-x_{0})^{r}.
  • Os coeficientes a_{n} são números a determinar.
  • Essa forma generaliza séries de potências e permite exposição de termos em potências não inteiras, o que é necessário em singular regular.
Agora compute as derivadas necessárias (essas contas são mecânicas, faço passo a passo):
y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,(n+r)\,(x-x_{0})^{n+r-1},
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,(n+r)(n+r-1)\,(x-x_{0})^{n+r-2}.

Passo 3

Substituição na equação e alinhamento das potências. Substituo y,y',y'' na equação
y''+\frac{p(x)}{(x-x_{0})}y'+\frac{q(x)}{(x-x_{0})^{2}}y=0.
Como \dfrac{p(x)}{x-x_{0}} e \dfrac{q(x)}{(x-x_{0})^{2}} multiplicam y' e y, respectivamente, todas as três parcelas ficarão com fator (x-x_{0})^{n+r-2} quando eu expandir p(x) e q(x). Para organizar, escrevo as séries de p e q:
p(x)=\sum_{m=0}^{\infty} p_{m}\,(x-x_{0})^{m},\qquad q(x)=\sum_{m=0}^{\infty} q_{m}\,(x-x_{0})^{m}.
Então
\frac{p(x)}{x-x_{0}}y'=\sum_{m=0}^{\infty} p_{m}\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,(n+r)\,(x-x_{0})^{n+r-2+m},
\frac{q(x)}{(x-x_{0})^{2}}y=\sum_{m=0}^{\infty} q_{m}\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,(x-x_{0})^{n+r-2+m}.
Somando todas as parcelas e recolhendo o termo em (x-x_{0})^{s+r-2} (pondo s=n+m) obtemos a condição de anulamento dos coeficientes de cada potência:
\sum_{m=0}^{s} a_{s-m}\Big[(s-m+r)(s-m+r-1)+(s-m+r)\,p_{m}+q_{m}\Big]=0, \qquad s=0,1,2,\dots
Essa é a equação que todos os coeficientes devem satisfazer.

Passo 4

Indicial (polinômio) e suas raízes (resposta de (a)). O termo com s=0 (ou seja, n=0,m=0) dá a equação que envolve apenas a_{0}:
a_{0}\Big[r(r-1)+r\,p_{0}+q_{0}\Big]=0.
Como a_{0}\neq 0 por definição da série de Frobenius, isso impõe o polinômio indicial
\boxed{I(r)=r(r-1)+p_{0}r+q_{0}=0.}
As raízes r_{1},r_{2} são as soluções dessa equação quadrática; explicitamente
\boxed{r_{1,2}=\frac{1-p_{0}\pm\sqrt{(1-p_{0})^{2}-4q_{0}}}{2}.}
(Use a fórmula quadrática normal para resolver r(r-1)+p_{0}r+q_{0}=0.)
Interpretação rápida: os valores r_{1} e r_{2} são os expoentes possíveis na frente da série de Frobenius. Dependendo da diferença r_{1}-r_{2} (não inteiro, inteiro positivo ou zero), surge comportamento diferente para a segunda solução.

Passo 5

Fórmula de recorrência detalhada (resposta de (b)). Voltemos à condição geral obtida no passo 3:
\sum_{m=0}^{n} a_{n-m}\Big[(n-m+r)(n-m+r-1)+(n-m+r)\,p_{m}+q_{m}\Big]=0, \qquad n=0,1,2,\dots
(renomeei s por n para entrar em sintonia com a notação usual). Para n=0 recuperamos o indicial. Para n\ge 1 isolamos a_{n}. Defina o denominador
\Delta(n,r):=(n+r)(n+r-1)+(n+r)\,p_{0}+q_{0}.
Então para n\ge 1 obtemos a relação de recorrência
\boxed{a_{n}=-\frac{1}{\Delta(n,r)}\sum_{m=1}^{n} a_{n-m}\Big[(n-m+r)(n-m+r-1)+(n-m+r)\,p_{m}+q_{m}\Big].}
Explicando cada termo:
  • \Delta(n,r) é o coeficiente que multiplica a_{n} quando m=0 na soma; para que possamos definir a_{n} precisamos que \Delta(n,r)\neq 0.
  • Os coeficientes p_{m},q_{m} são os coeficientes da expansão de p(x) e q(x) em torno de x_{0}.
  • Começando com a_{0} arbitrário (normalmente escolhido a_{0}=1 para fixar escala) a fórmula permite computar a_{1},a_{2},\dots sucessivamente.
Observações práticas:
  • Para cada raiz r do indicial pode-se construir uma série usando essa recorrência (insira r=r_{1} ou r=r_{2}).
  • A série gerada converge pelo menos até o ponto singulare mais próximo de x_{0} (ou seja, até a menor distância de x_{0} a outro singular da equação).
  • Se \Delta(n,r)=0 para algum n\ge1 ocorre uma ressonância: isso sinaliza problemas na construção direta da série (ver passo a seguir).

Passo 6

Construção prática das duas soluções e critérios de independência. Existem três cenários distintos dependendo da diferença \rho:=r_{1}-r_{2}:
  1. \rho\notin\mathbb{Z} (diferença não inteira):
  • Cada raiz r_{1} e r_{2} gera uma solução de Frobenius independente y_{1}(x)= (x-x_{0})^{r_{1}}\sum a_{n}^{(1)}(x-x_{0})^{n} e y_{2}(x)=(x-x_{0})^{r_{2}}\sum a_{n}^{(2)}(x-x_{0})^{n}.
  • Essas duas soluções são linearmente independentes; a solução geral é C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}.
  1. \rho\in\mathbb{Z}_{\ge 0} (diferença inteira não negativa, isto é, r_{1}-r_{2}=N inteiro com N\ge 0):
  • A construção direta para a menor raiz pode falhar: ao tentar construir a série para a raiz menor pode ocorrer \Delta(N,r_{2})=0 e então o coeficiente a_{N} fica indeterminado ou um passo de recorrência exige compatibilidade.
  • Em geral a segunda solução pode envolver um termo logarítmico do tipo y_{2}(x)=K\,y_{1}(x)\ln(x-x_{0})+(x-x_{0})^{r_{2}}\sum b_{n}(x-x_{0})^{n}.
  • Há procedimentos específicos para encontrar K e os coeficientes b_{n} (veja passo 7).
  1. r_{1}=r_{2} (raízes iguais):
  • Novamente a segunda solução tipicamente contém um log: y_{2}=y_{1}\ln(x-x_{0})+ série.
  • Pode-se obter y_{2} por diferenciação em relação ao parâmetro (ver passo 7) ou por redução de ordem.

Passo 7

Métodos para obter a segunda solução (resposta de (c)) — lista com explicações e instruções práticas.
Método A — usar a mesma Frobenius com termo logarítmico (método direto de Frobenius estendido).
  • Postula-se uma solução do tipo
y_{2}(x)=y_{1}(x)\ln(x-x_{0})+\sum_{n=0}^{\infty} b_{n}(x-x_{0})^{n+r_{2}},
onde y_{1} é a solução associada à raiz maior r_{1} (ou à raiz dupla) já conhecida.
  • Substitui-se esta forma na equação e resolve-se para os b_{n}. Esse procedimento produz um sistema linear que determina os b_{n} e o coeficiente multiplicando o \ln. É o método padrão quando as raízes diferem por inteiro ou coincidem.
  • Comentário prático: calcular os coeficientes exige trabalho algébrico similar ao caso sem log, mas agora as equações forçam a presença do \ln quando há incompatibilidade na recorrência.
Método B — redução de ordem (método de Lagrange, válido quando se conhece uma solução y_{1}).
  • Se y_{1} é uma solução conhecida (não nula), então uma segunda solução linearmente independente pode ser obtida por
\boxed{y_{2}(x)=y_{1}(x)\int^{x}\!\frac{\exp\!\big(-\int^{t}P_{1}(s)\,ds\big)}{y_{1}(t)^{2}}\,dt,}
onde a equação original está na forma y''+P_{1}(x)y'+P_{0}(x)y=0.
  • Explicação: faz-se a substituição y=v(x)\,y_{1}(x) e reduz-se a uma equação de primeira ordem para v'. A integral acima vem dessa redução.
  • Vantagem: é um método direto e funciona em teoria sempre que se conhece y_{1}. Desvantagem: a integral pode ser intratável e pode introduzir \ln automaticamente se houver singularidade. Em prática, se a integral puder ser executada (ou expandida em série), obtemos explicitamente y_{2}.
Método C — derivação paramétrica (método da derivada em relação ao expoente).
  • Considere a solução formal y(r;x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(r)\,(x-x_{0})^{n+r} vista como função de r. Para raízes coincidentes ou quando há degenerescência, a derivada parcial em r fornece uma solução independente:
\boxed{y_{2}(x)=\left.\frac{\partial}{\partial r}y(r;x)\right|_{r=r_{1}}.}
  • Intuição: quando duas raízes colidem, a família de soluções y(r;x) dá duas direções independentes — a derivada em r gera a direção independente adicional, comumente produzindo o termo em \ln(x-x_{0}).
  • Procedimento prático: derive coeficientes a_{n}(r) da recorrência em função de r e avalie em r=r_{1}. Isso produz a série da segunda solução, incluindo o termo logarítmico se necessário.
Método D — análise da recorrência e ressonância (método algébrico direto).
  • Ao tentar construir a série para a raiz menor r_{2} encontrará-se, em caso de diferença inteira N, um denominador \Delta(N,r_{2})=0. A equação correspondente impõe uma condição de compatibilidade sobre os coeficientes anteriores; se essa condição não for satisfeita com a_{0}\neq 0 então a construção direta falha e um termo \ln aparece.
  • Procedimento prático: executar a recorrência até o índice problematico n=N, verificar a compatibilidade. Se houver incompatibilidade, introduz-se o termo logarítmico e resolve-se o novo sistema para os coeficientes do bloco logarítmico e do bloco regular.
Observações finais sobre escolha do método:
  • Se já se conhece uma solução y_{1}, redução de ordem (Método B) é muitas vezes a rota mais simples.
  • Para ver explicitamente a estrutura do log e calcular coeficientes, o método direto de Frobenius com log (Método A) ou o método da derivada paramétrica (Método C) são os mais utilizados em provas e em cálculos formais.
  • Na prática de prova: comece tentando construir duas séries de Frobenius com r_{1} e r_{2}. Se aparecer divisão por zero (ressonância), mude para redução de ordem ou para a ansatz com \ln. Mostre a existência do log e calcule os primeiros coeficientes para justificar a forma da solução.

Passo 8

Demonstração de como aplicar a recorrência na prática (mini-exemplo de procedimento sem números). Procedimento passo-a-passo para construir a solução associada a uma raiz r:
  1. Expanda p(x) e q(x) em torno de x_{0} e leia p_{0},p_{1},\dots e q_{0},q_{1},\dots.
  2. Resolva o indicial I(r)=0 para obter r. Escolha r=r_{1} para a primeira solução.
  3. Fixe a_{0}\neq 0 (por exemplo a_{0}=1).
  4. Use a fórmula de recorrência para n=1,2,\dots e calcule a_{1},a_{2},\dots até a ordem desejada; em cada passo verifique se \Delta(n,r)\neq 0.
  5. Se em algum passo aparecer \Delta(n,r)=0 então parar e aplicar métodos do passo 7 (especialmente se isso acontecer para a raiz menor).

Passo 9

Comentários sobre convergência e linearidade.
  • As séries de Frobenius obtidas convergem pelo menos até o primeiro ponto singulare (excluindo x_{0}) no complexo; isso é consequência da analiticidade de p e q.
  • As duas soluções construídas (quando linearmente independentes) formam uma base do espaço de soluções da equação linear de segunda ordem; a solução geral é combinação linear com constantes arbitrárias.

Resposta

(a) I(r)=r(r-1)+p_{0}r+q_{0}=0. \quad r_{1,2}=\dfrac{1-p_{0}\pm\sqrt{(1-p_{0})^{2}-4q_{0}}}{2}.\n
(b) Procurando y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^{n+r} obtemos a recorrência, para n\ge1,
a_{n}=-\frac{1}{\Delta(n,r)}\sum_{m=1}^{n} a_{n-m}\Big[(n-m+r)(n-m+r-1)+(n-m+r)\,p_{m}+q_{m}\Big],
com \Delta(n,r)=(n+r)(n+r-1)+(n+r)p_{0}+q_{0} e p_{m},q_{m} os coeficientes das séries de p(x) e q(x). A solução correspondente a cada raiz r é y=(x-x_{0})^{r}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^{n} (com a_{0} arbitrário).\n
(c) Métodos para obter a segunda solução quando necessário: (i) ansatz de Frobenius estendido com termo logarítmico y_{2}=y_{1}\ln(x-x_{0})+ série e determinação dos coeficientes; (ii) redução de ordem (fórmula de Lagrange) y_{2}=y_{1}\int \exp(-\int P_{1})/y_{1}^{2}\,dx quando y_{1} é conhecida; (iii) método da derivada paramétrica \,y_{2}=\partial_{r}y(r;x)\big|_{r=r_{1}}\, (útil em raízes duplas); (iv) análise algébrica da recorrência e tratamento da ressonância (introdução explícita de \ln quando \Delta(n,r)=0 para algum n).

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