Para o sistema do problema 1.8-3 determine a equação das adiabáticas no plano P-V (isto é, determine a forma das curvas P=P(V) tal que d Q=0 ao longo das curvas).
Resposta: V^{7} P^{5}= constante

Passo 1

O que o problema pede: determinar as curvas no plano P- V tais que a troca de calor ao longo delas é nula, isto é, dQ=0. Ou seja, achar a relação P=P(V) (ou uma forma equivalente) que descreve as adiabáticas do sistema do problema 1.8-3.
Informações usadas (retiradas do enunciado referido): o sistema é um gás ideal diatômico com capacidades térmicas molares constantes
C_V=\frac{5}{2}R,\qquad C_P=\frac{7}{2}R,
onde R é a constante dos gases perfeitos. Além disso, n será o número de mols do gás, T a temperatura, P a pressão e V o volume. Nós não precisamos do valor numérico de n para obter a forma das curvas adiabáticas.

Passo 2

Primeira lei da termodinâmica (forma diferencial) e definição de energia interna para gás ideal.
A primeira lei em diferencial é
dQ=dU+P\,dV.
Para um processo adiabático temos dQ=0, então
dU+P\,dV=0.
Para um gás ideal a energia interna molar é proporcional à temperatura; para n mols vale
U=n\,C_V\,T.
Portanto a variação infinitesimal da energia interna é
dU=n\,C_V\,dT.

Passo 3

Relacionar dT com dP e dV usando a equação de estado do gás ideal.
A equação de estado é
P\,V=n\,R\,T.
Diferenciando essa relação obtemos
P\,dV+V\,dP = n\,R\,dT,
logo
dT=\frac{P\,dV+V\,dP}{n\,R}.
Substituindo em dU=n\,C_V\,dT resulta
dU = n\,C_V\cdot\frac{P\,dV+V\,dP}{n\,R} = \frac{C_V}{R}\,(P\,dV+V\,dP).

Passo 4

Aplicar condição adiabática dU+P\,dV=0 e obter equação diferencial entre P e V.
Substituindo a expressão de dU na condição dU+P\,dV=0
\frac{C_V}{R}\,(P\,dV+V\,dP) + P\,dV = 0.
Agrupando termos em dV e dP:
\frac{C_V}{R}\,V\,dP + \left(\frac{C_V}{R}P + P\right)dV = 0.
Repare que \dfrac{C_V}{R}P + P = \dfrac{C_V+R}{R}P = \dfrac{C_P}{R}P. Assim
\frac{C_V}{R}\,V\,dP + \frac{C_P}{R}\,P\,dV = 0.
Dividindo por \dfrac{C_V}{R}\,P\,V obtemos uma forma separável:
\frac{dP}{P} + \frac{C_P}{C_V}\,\frac{dV}{V} = 0.

Passo 5

Integrar a equação diferencial separável e escrever a lei adiabática em forma conhecida.
Definindo \gamma=\dfrac{C_P}{C_V}, a equação do passo anterior é
\frac{dP}{P} + \gamma\,\frac{dV}{V}=0.
Integrando:
\int \frac{dP}{P} + \gamma\int\frac{dV}{V}=0
\ln P + \gamma\ln V = \text{constante}.
Exponenciando:
P\,V^{\gamma}=\text{constante}.
Esta é a forma clássica da adiabática para um gás ideal com \gamma=C_P/C_V.

Passo 6

Calcular \gamma para o gás diatômico e reescrever a adiabática na forma pedida.
Usando os valores molares fornecidos:
\gamma=\frac{C_P}{C_V}=\frac{\tfrac{7}{2}R}{\tfrac{5}{2}R}=\frac{7}{5}.
Portanto a adiabática é
P\,V^{7/5}=\text{constante}.
Elevando ambos os lados à potência 5 obtém-se uma forma equivalente com potências inteiras:
P^{5}\,V^{7}=\text{constante},
que pode também ser escrita como
V^{7}\,P^{5}=\text{constante}.

Resposta

V^{7} P^{5}=\text{constante}

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