Para o sistema do problema 1.8-3 determine a equação das adiabáticas no plano
(isto é, determine a forma das curvas
tal que
ao longo das curvas).
Resposta:
constante
Passo 1
O que o problema pede: determinar as curvas no plano
-
tais que a troca de calor ao longo delas é nula, isto é,
. Ou seja, achar a relação
(ou uma forma equivalente) que descreve as adiabáticas do sistema do problema 1.8-3.
Informações usadas (retiradas do enunciado referido): o sistema é um gás ideal diatômico com capacidades térmicas molares constantes
onde
é a constante dos gases perfeitos. Além disso,
será o número de mols do gás,
a temperatura,
a pressão e
o volume. Nós não precisamos do valor numérico de
para obter a forma das curvas adiabáticas.
Passo 2
Primeira lei da termodinâmica (forma diferencial) e definição de energia interna para gás ideal.
A primeira lei em diferencial é
Para um processo adiabático temos
, então
Para um gás ideal a energia interna molar é proporcional à temperatura; para
mols vale
Portanto a variação infinitesimal da energia interna é
Passo 3
Relacionar
com
e
usando a equação de estado do gás ideal.
A equação de estado é
Diferenciando essa relação obtemos
logo
Substituindo em
resulta
Passo 4
Aplicar condição adiabática
e obter equação diferencial entre
e
.
Substituindo a expressão de
na condição
dá
Agrupando termos em
e
:
Repare que
. Assim
Dividindo por
obtemos uma forma separável:
Passo 5
Integrar a equação diferencial separável e escrever a lei adiabática em forma conhecida.
Definindo
, a equação do passo anterior é
Integrando:
Exponenciando:
Esta é a forma clássica da adiabática para um gás ideal com
.
Passo 6
Calcular
para o gás diatômico e reescrever a adiabática na forma pedida.
Usando os valores molares fornecidos:
Portanto a adiabática é
Elevando ambos os lados à potência
obtém-se uma forma equivalente com potências inteiras:
que pode também ser escrita como