Considere a equação:
y^{\prime \prime}+P_{1}(x) y^{\prime}+P_{0}(x) y=0
Mostre que, se P_{1}(x) e P_{0}(x) são funções analíticas em x=x_{0}, então x_{0} é um ponto ordinário da equação e existem duas soluções linearmente independentes representáveis por séries de potências convergentes em torno de x_{0}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem
y^{\prime\prime}+P_{1}(x)\,y^{\prime}+P_{0}(x)\,y=0
e afirma que P_{1} e P_{0} são funções analíticas em x=x_{0}. O que se pede mostrar é: (i) que x_{0} é um ponto ordinário da equação e (ii) que existem duas soluções linearmente independentes que podem ser escritas como séries de potências convergentes em torno de x_{0}.
Informações relevantes fornecidas:
  • P_{1}(x) e P_{0}(x) são analíticas em x_{0}. Isso significa que existem séries de potências centradas em x_{0} que representam essas funções num raio de convergência positivo.
  • A equação é linear, homogênea e de segunda ordem; portanto, uma solução geral tem dois parâmetros livres (dois graus de liberdade iniciais).

Passo 2

Expansão das funções coeficientes em séries de potências em torno de x_{0}.
Como P_{1} e P_{0} são analíticas em x_{0}, existem números R_{1}>0 e R_{0}>0 e coeficientes \{p_{1,k}\}_{k\ge0}, \{p_{0,k}\}_{k\ge0} tais que, para |x-x_{0}|<R com R=\min(R_{1},R_{0}),
P_{1}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}p_{1,k}(x-x_{0})^{k},\qquad P_{0}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}p_{0,k}(x-x_{0})^{k}.
Aqui cada p_{i,k} é o coeficiente do termo (x-x_{0})^{k} na expansão de P_{i}. O fato de existirem essas séries e de elas convergirem para |x-x_{0}|<R é a definição de analiticidade.

Passo 3

Procuramos uma solução como série de potências centrada em x_{0}.
Assumimos uma solução da forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^{n},
onde os a_{n} são coeficientes a determinar. Então as derivadas formam-se por diferenciação termo a termo:
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n a_{n}(x-x_{0})^{n-1},\qquad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_{n}(x-x_{0})^{n-2}.
Explicar: a_{n} é o coeficiente do termo (x-x_{0})^{n} na série solução; a operação de derivar reduz o expoente e multiplica pelo expoente (regra básica de derivação de potências).

Passo 4

Substituição na equação e obtenção da relação de recorrência para os coeficientes.
Substituindo as séries de y,y',y'' e os P_{i} na equação e reagrupando por potências de (x-x_{0}), obtemos (alinhando índices para o mesmo expoente (x-x_{0})^{n}):
\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}(x-x_{0})^{n} +\sum_{n=0}^{\infty}\Big(\sum_{k=0}^{n}p_{1,k}(n-k+1)a_{\,n-k+1}\Big)(x-x_{0})^{n} +\sum_{n=0}^{\infty}\Big(\sum_{k=0}^{n}p_{0,k}a_{\,n-k}\Big)(x-x_{0})^{n}=0.
Como duas séries iguais somam zero termo a termo, para todo n\ge0 deve valer
(n+2)(n+1)a_{n+2}+\sum_{k=0}^{n}p_{1,k}(n-k+1)a_{\,n-k+1} +\sum_{k=0}^{n}p_{0,k}a_{\,n-k}=0.
Isolando a_{n+2} obtemos a relação de recorrência
a_{n+2}=-\frac{1}{(n+2)(n+1)}\left(\sum_{k=0}^{n}p_{1,k}(n-k+1)a_{\,n-k+1} +\sum_{k=0}^{n}p_{0,k}a_{\,n-k}\right).
Observação importante (razão pela qual x_{0} é ponto ordinário): o coeficiente diante de a_{n+2} é (n+2)(n+1), que nunca é zero. Não aparece um fator que anule a derivada de ordem mais alta no ponto x_{0}. Em termos da equação original, isso equivale a dizer que o coeficiente de y'' (que aqui é 1) é não nulo em x_{0}; portanto x_{0} é um ponto ordinário.

Passo 5

Liberdade inicial e independência linear das duas soluções em série.
A recorrência mostra que a_{n+2} é determinado unicamente pelos coeficientes anteriores a_{0},a_{1},\dots,a_{n+1} e pelos coeficientes p_{i,k}. Assim os únicos parâmetros livres são a_{0} e a_{1}. Isso significa que, escolhendo dados iniciais arbitrários a_{0} e a_{1}, toda a sequência \{a_{n}\} é definida e, portanto, existe uma solução em série única correspondente a esses dados iniciais.
Em particular, podemos construir duas soluções:
  • y^{(1)} obtida escolhendo \;a_{0}=1,\;a_{1}=0\;,
  • y^{(2)} obtida escolhendo \;a_{0}=0,\;a_{1}=1\;.
Essas duas soluções geradas pelas escolhas independentes de a_{0} e a_{1} são linearmente independentes, pois o Wronskiano avaliado em x_{0} é
W(y^{(1)},y^{(2)})(x_{0})= \begin{vmatrix} y^{(1)}(x_{0}) & y^{(2)}(x_{0})\\[4pt] y^{(1)\prime}(x_{0}) & y^{(2)\prime}(x_{0}) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{0}^{(1)} & a_{0}^{(2)}\\[4pt] a_{1}^{(1)} & a_{1}^{(2)} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{vmatrix}=1\neq0.
Como o Wronskiano em x_{0} é diferente de zero, as soluções são linearmente independentes numa vizinhança de x_{0}.]

Passo 6

Prova da convergência das séries pelo método do majorante (controle das normas dos coeficientes).
Agora precisamos mostrar que, para as escolhas anteriores de a_{0} e a_{1}, as séries
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^{n}
convergem pelo menos num pequeno disco |x-x_{0}|<\rho com \rho>0.
Como P_{1} e P_{0} são analíticas em x_{0}, para qualquer r com 0<r<R temos, por estimativa de Cauchy, constantes M_{1},M_{0} tais que os coeficientes satisfazem
|p_{1,k}|\le\frac{M_{1}}{r^{k}},\qquad |p_{0,k}|\le\frac{M_{0}}{r^{k}}
para todo k\ge0. Isso é consequência do fato padrão de teoria de séries de potências: se uma função é limitada por M sobre o círculo |x-x_{0}|=r, então os coeficientes da série satisfazem essa desigualdade.
Definimos agora as quantidades
s_{n}:=|a_{n}|\,r^{n}.
Multiplicando a recorrência por r^{n+2} e aplicando desigualdade triangular e as estimativas acima, obtemos, para todo n\ge0,
(n+2)(n+1)s_{n+2} \le M_{1}\sum_{k=0}^{n}(n-k+1)s_{\,n-k+1}+M_{0}\sum_{k=0}^{n}s_{\,n-k}.
Reindexando as somas (pondo j=n-k+1 na primeira soma e j=n-k na segunda) resulta
(n+2)(n+1)s_{n+2}\le M_{1}\sum_{j=1}^{n+1} j s_{j} + M_{0}\sum_{j=0}^{n} s_{j}.

Passo 7

Construção do majorante e conclusão da convergência por indução.
Escolhemos r>0 suficientemente pequeno para que M_{1} e M_{0} sejam pequenos — isto é possível porque M_{i} é a suprema de |P_{i}| sobre o círculo |x-x_{0}|=r e, ao encurtar r, a suprema tende ao valor P_{i}(x_{0}). Agora fixamos um número A>0 (por exemplo A=1) e uma constante C tal que
s_{0}=|a_{0}|\le C,\qquad s_{1}=|a_{1}|\,r\le C,
o que é sempre possível tomando C\ge\max(s_{0},s_{1}).
Vamos mostrar por indução que existe C (já escolhido) e A>0 tais que, para todo n,
s_{n}\le C\frac{A^{n}}{n!}.
Base: para n=0,1 foi garantido pela escolha de C. Indução: suponha que a desigualdade vale para todos índices \le n+1. Então, usando a desigualdade anterior e a hipótese indutiva,
(n+2)(n+1)s_{n+2} \le M_{1}\sum_{j=1}^{n+1} j\; C\frac{A^{j}}{j!} + M_{0}\sum_{j=0}^{n} C\frac{A^{j}}{j!}.
Simplificando e estendendo as somas ao infinito (tornando-as maiores), obtemos
(n+2)(n+1)s_{n+2}\le C\Big(M_{1}\sum_{j=1}^{\infty}\frac{A^{j}}{(j-1)!}+M_{0}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{A^{j}}{j!}\Big) = C e^{A}\big(M_{1}A+M_{0}\big).
Portanto
s_{n+2}\le \frac{C e^{A}\big(M_{1}A+M_{0}\big)}{(n+2)(n+1)}.
Queremos que isto seja menor ou igual a C\frac{A^{n+2}}{(n+2)!}, ou seja precisamos da condição
\frac{e^{A}\big(M_{1}A+M_{0}\big)}{(n+2)(n+1)}\le\frac{A^{n+2}}{(n+2)!}.
Como (n+2)!/(n+2)(n+1)=n!\ge1, uma condição suficiente, independente de n, é
e^{A}\big(M_{1}A+M_{0}\big)\le A^{2}.
Agora observe que podemos escolher r tão pequeno que M_{1} e M_{0} fiquem arbitrariamente próximos de P_{1}(x_{0}) e P_{0}(x_{0}), respectivamente; portanto podemos tornar M_{1} e M_{0} suficientemente pequenos para satisfazer a desigualdade acima com A fixo (por exemplo A=1). Assim existe uma escolha de r>0 e C tal que a desigualdade indutiva vale para todos os n. Isso prova que
s_{n}\le C\frac{A^{n}}{n!}\quad\text{para todo }n,
logo, para |x-x_{0}|<r,
|a_{n}(x-x_{0})^{n}|\le C\frac{A^{n}}{n!}\left(\frac{|x-x_{0}|}{r}\right)^{n}.
Para |x-x_{0}| \le \rho<r a série da direita converge (pois \sum A^{n}/n! converge). Assim a série de potências \sum a_{n}(x-x_{0})^{n} converge absolutamente e uniformemente em |x-x_{0}|\le\rho. Portanto a série definida pela solução é convergente num disco em torno de x_{0}.
Resumo do argumento de convergência em palavras: a recorrência permite controlar a_{n} em termos dos coeficientes analíticos p_{i,k}; usando estimativas de Cauchy para os p_{i,k} e um argumento de majorante com fatorial no denominador, obtemos uma desigualdade do tipo |a_{n}| \le \text{const}\cdot A^{n}/n!, que garante convergência da série de potências.

Passo 8

Conclusão final juntando tudo.
  • Como o coeficiente de y'' é 1\neq0, x_{0} é um ponto ordinário.
  • A busca por soluções em séries de potências leva a uma recorrência que determina todos os a_{n} a partir de a_{0} e a_{1}; portanto há duas constantes livres — o que corresponde a duas soluções independentes.
  • Pelo argumento de majorante e pelas estimativas de Cauchy, as séries construídas com a_{0},a_{1} arbitrários convergem em alguma vizinhança de x_{0}.
  • Tomando as soluções geradas por (a_{0},a_{1})=(1,0) e (0,1) obtemos duas soluções linearmente independentes em série de potências válidas em torno de x_{0}.

Resposta

x_{0} é um ponto ordinário e existem duas soluções linearmente independentes representáveis por séries de potências convergentes em torno de x_{0}.

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